Решение на линейни алгебрични уравнения (SLAE) с помощта на обратна матрица (понякога се нарича методът по метод матрица или метода на обратната матрица) изисква познаване на концепцията за това как запис матрица форма SLAE. Методът за матрица обратен за решаване на системи линейни алгебрични уравнения, при което матрицата на детерминанта системата е нула. Естествено, като се разбира, че матрицата е квадратна система (детерминанта концепция съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на обратен матрица може да бъде изразена в три точки:
- Запишете три матрици: матрицата на системата $ A $, неизвестната матрица $ X $, матрицата на абсолютно изражение $ B $.
- Намерете обратната матрица $ A $ ^.
- Използване на $ равенство X = A ^ \ cdot B $ за да се получи разтвор даден Слау.
Всички линейни системи могат да бъдат написани в матрична форма, както cdot X = B $ на $ A \, където $ A $ - матрица на системата, $ B $ - матрица на абсолютни стойности, $ X $ - матрица от неизвестни. Нека съществува матрица $ A $ ^. Размножава двете страни на уравнение $ A \ cdot X = B $ в матрица $ А ^ $ отляво на:
$$ А ^ \ cdot A \ cdot X = А ^ \ cdot Б. $$
Тъй $ А ^ \ cdot А = E $ ($ E $ - идентичност матрица), уравнението написано по-горе ще бъде:
От $ E \ cdot X = X $, а след това:
Преди да се пристъпи към чете примери I препоръчват да се запознаят с методите за изчисляване обратни матрици, изложени тук.
Решете линейни системи $ \ ляво \<\begin & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end \right.$ с помощью обратной матрицы.
Пишем матрицата на системата $ A $, матрицата на абсолютно изражение $ B $ и матрицата на неизвестни $ X $.
Намираме обратна матрица на матрицата на системата, т.е. Изчисляваме $ A $ ^. Пример №2 на страницата, посветена на намирането на обратен матрица, обратната матрица вече е намерен. Ние използваме готовия резултат и запишете $ A $ ^:
Сега ние замени трите матрици ($ X $, $ A ^ $, $ B $) в уравнение $ X = A ^ \ cdot B $. След извършване на умножение на матрици от дясната страна на това уравнение.
По този начин, ние имаме равенство $ \ ляво на (\ започне x_1 \\ x_2 \ край \ вдясно) = \ ляво (\ започне -3 \\ 2 \ край \ вдясно) $. От това уравнение, ние имаме: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.
Решете линейни системи $ \ ляво \ x_1 + 7x_2 + 3x_3 = 1; \\ -4x_1 + 9x_2 + 4x_3 = 0; \\ 3x_2 + 2x_3 = 6. \ Край \ прав. $ Чрез инверсната матрица.
Пишем матрицата на системата $ A $, матрицата на абсолютно изражение $ B $ и матрицата на неизвестни $ X $.
$$ А = \ наляво (\ започне 1 7 \\ 3 -4 9 4 \\ 0 3 2 \ край \ дясно); \; В = \ наляво (\ започне -1 \\ \\ 0 6 \ край \ дясно); \; X = \ ляво (\ започне x_1 \\ \\ x_2 x_3 \ край \ вдясно). $$
Сега дойде ред да се намери обратната матрица на матрицата на системата, т.е. намери $ A $ ^. Пример №3 на страницата, посветена на намирането на обратен матрица, обратната матрица вече е намерен. Ние използваме готовия резултат и запишете $ A $ ^:
$$ А ^ = \ Frac \ cdot \ наляво (\ започне 6 -5 1 \\ 8 2 \\ -16 -12 -3 37 \ край \ вдясно). $$
Сега ние замени трите матрици ($ X $, $ A ^ $, $ B $) в уравнение $ X = A ^ \ cdot B $, а след това да извършите умножение на матрици от дясната страна на това уравнение.
$$ \ ляво (\ започне x_1 \\ \\ x_2 x_3 \ край \ вдясно) = \ Фрак \ cdot \ ляво (\ започне 6 -5 1 \\ 8 2 \\ -16 -12 -3 37 \ край \ дясно) \ cdot \ наляво (\ започне -1 \\ \\ 0 6 \ край \ дясно) = \\ = \ Frac \ cdot \ наляво (\ започне 6 \ cdot (-1) + (- 5 ) \ cdot 0 + 1 \ cdot 6 \\ 8 \ cdot (-1) 2 \ cdot 0 + (- 16) \ cdot 6 -12 \\ \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot 0+ 37 \ cdot 6 \ край \ дясно) = \ Frac \ cdot \ наляво (\ започне 0 \\ - \\ 104 234 \ край \ дясно) = \ наляво (\ започне 0 \\ - \\ 4 9 \ край \ полето ) $$
По този начин, ние имаме равенство $ \ ляво на (\ започват x_1 \\ \\ x_2 x_3 \ край \ вдясно) = \ ляво (\ започне \\ 0 - 4, 9 \\ \ край \ вдясно) $. От това уравнение, ние имаме: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -4 $, $ x_3 = $ 9.
Естествено, решението на системи линейни уравнения с помощта на обратна матрица, без използването на специален софтуер, като Mathcad е възможно само с относително малък брой променливи. Ако SLAE съдържа четири или повече променливи, то е много по-удобно в този случай да се приложи Gaussian елиминиране или метода на Гаус-Джордан.
Свързани статии