Променлив серия може да се запише като:
За сближаването на серия променливо (в знак на Лайбниц). Променлив серия клони ако абсолютните стойности на неговите членове са монотонно намалява и общият термин клони към нула, т.е. ако са изпълнени следните две условия: 1).
Вземете п ти частична сума от поредица конвергентна променлив, за които знака на Лайбниц
нека ти остатък от серията. Това може да се изрази като разликата между сумата от серия S и п-тата частична сумата т.е.
Стойността се оцени с помощта на неравенството
конвергентна, ако поредицата
В този случай, оригиналната серия се нарича абсолютно сходни. Convergent серия се нарича условно обединени. ако серията се отклонява.
защото 2> 1, след серия отклонява.
Пример. Изследване на конвергенцията на серия
Решение: Нанесете знака на Лайбниц. защото
Следователно първото условие Лайбниц характеристика. защото
Тя се осъществява и второто условие. Следователно, серия клони.
Пример. Изследване на конвергенцията на серия
Решение: създаване на броя на абсолютните стойности
Тази серия от безкрайно намаляваща геометрична прогресия н. Ето защо, серията клони, и абсолютно.
4. Функционално серия.
Редица от членовете на който - функция на х. наречената функционална. Наборът от стойности на х. в които се определят функциите и клони на серия се нарича района на сближаване на функционална серия. Всяка стойност на региона на сближаване на X съответства на определена стойност на стойността на сума се нарича .Etu редица функции и означена с S (х).
Функционално серия от формата
където - реални числа, се нарича сила.
Основната собственост на мощност серия е, че ако степенен ред клони. след това клони (и освен това абсолютно) за всяка стойност на х. задоволяване на неравенството (теорема на Абел).
Едно от последствията на теоремата на Абел е наличието на степенния ред за всеки интервал на конвергенция. или с център точка. във вътрешността на който степенен ред клони абсолютно и без които тя се отклонява. В краищата на интервала на конвергенция (в точки) различни серии власт се държи по различен начин: един сближат абсолютно в двата края, другата - или условно сближат в двата края, или един от тях произволно сближат върху друг се различават, а други - да се отклоняват от двете свършва.
Броят R се нарича радиус на сходимост на мощност серия. В особени случаи, радиусът на сближаване на редица R може да бъде нула или безкрайност.
За да намерите най-интервала и радиус на сходимост на мощност серия, можете да използвате един от следните методи.
1 начин. Ако сред коефициентите на поредицата не е равно на нула, т.е. ред съдържа всички х-и положително цяло степен на разликата. на
при условие, че съществува този лимит (краен или безкраен).
2 метод. Ако оригиналните серии има формата
(Където р е цяло положително число: 2,3, ...), след това
3 метод. Ако има нула, а останалите последователност в множество индикатори за степента на разликата между всяка редица фактори, на
където - коефициенти, различни от нула.
4. метод. Във всички случаи, броят на интервала на сближаване може да се намери чрез прилагане директно към тест на Alembert или подпише серия Коши, съставен от абсолютните стойности на членовете на оригиналния сериал.
Механични серия имат свойството, че поредицата получена чрез диференциране и интегриране срок от срок на серия мощност, имат същото разстояние и конвергенцията на сумата на конвергенция в интервала са съответно производно и интеграла на размера на първоначалния брой. ако
Операция мандат със срок диференциация и интеграция може да се направи на поредица власт толкова пъти.
Пример. Изследване на конвергенцията на серия
Решение: брой е геометрична прогресия с коефициент р =. Тя клони, ако и се отклонява, ако. Следователно, разликата се определя от сближаването на двойно неравенство. В същият резултат може да се получи, като се използва формула (4), (5).
Пример. Изследване на конвергенцията на серия
Решение: В този случай имаме за п = 2k-1 и когато п = 2k. За да намерите радиуса на сближаване е най-удобно да се използва формулата (5).
Ние разглеждаме редица краищата на конвергенцията на интеграла. Поставянето. Ние получи числен серия
Но този начин, в х 2. По този начин, в района на конвергенция на серията
Пример. Изследване на конвергенцията на серия
Решение: Нанесете знака на Коши, вярвайки,
По този начин, поредицата клони ако. т.е.
Пример. Изследване на конвергенцията на серия
Решение: Ние използваме тест на Alembert, приемайки
серията клони ако. т.е.
5. Разширяване на функции в степенен ред.
серия Тейлър. серия Maclaurin.
Всяка функция е безкрайно диференцируема в диапазона т.е. , Тя може да се разшири в този диапазон в конвергентна него Тейлър мощност серия
ако в този интервал състоянието
при което - терминът остатъка от Taylor Формула (или брой остатък)
Когато получите степен Maclaurin серия:
Ако интервал, съдържащ точка. за всяко п неравенството. където М - е положителна константа, тогава F функция (х) се разширява в серия Тейлър.
Разбиване на елементарни функции в Maclaurin серия.
Това последно разширяване протича
Пример. Разширена в поредица в правомощията на х функция
Решение: Нека да намерим стойностите на функцията и неговите производни в х = 0.
От 0 Пример. Разширена в поредица в правомощията на х функция Решение: Ние разграничат функциите на N + 1 пъти: В точката х = 0, ние откриваме стойност на е (п + 1) (х) се определя в точката х = С. Получават е (0) = 0 ,, Ние намираме остатъка: Тъй като за всяко х. и стойността на ограниченото или. Следователно, функцията може да бъде представена като сума от серията Maclaurin Пример. Разширена в поредица в правомощията на х. Решение: разширяване B X се заменя с Х2; получаваме Пример. Лорноксикам разлага на поредица от сили на х -1 Решение: разширяване B Смяна х от х - 1; получаваме Пример. Разширена в правомощията х -2 функция 1 / х. Решение: Ние използваме равенството. Дясната страна на това уравнение може да се разглежда като сума от безкраен геометрична прогресия с първи план и знаменателятСвързани статии