т. е. имаме равенство
Разбира се, ние приемаме, че членовете на уравнението (1) и (2) неправилни интегралите да съществуват.
5.12.1. Уравнението на топлина. Като пример на синусоидални трансформация помисли топлина уравнение (виж § 5.5.) За полу-безкраен прът:
под граничното условие
и първоначално състояние
Ние вярваме, че, когато. Това не противоречи на физически причини. Ето защо, ние сме в условия на възможността за използване на задължително трансформира.
- синусна трансформация на желания разтвор на горния проблем.
Увеличаването уравнение (3), като и интегриране в диапазон от 0 до получаване на (с използване на (4) - (6))
По този начин, ние намалихме проблема за решаване на един обикновен първи ред линейно диференциално уравнение. Ограничен разтвор на уравнение (7) отговаря на условието (8) има формата
формула инверсия (вж. (3) § 4.13) дава
Както е известно (вж. Нашата книга "Висша математика. Диференциално и интегрално смятане», § 6.10), интегралните клони и освен (вж. По-долу пример 2 § 6.14),
Полезно е да се провери, че функцията (11) отговаря нашето уравнение. При тестване е необходимо да се обоснове легитимността на диференциация по отношение на съответния параметър на неправилни интеграли.
Когато на интеграл от дясната страна на (11) е, с оглед на (10). Следователно, първоначалното състояние (5).
Ако това неразделна е нула и т. Е. граница състояние (4).
Интегралът в (11) клони, защото
Разнообразяване на формалното равенство (11) по отношение на, ние получаваме
С цел да се обоснове легитимността на официална диференциация с това е необходимо да се определят произволно промени интервал, където и да се окаже, че неразделна (12) клони равномерно върху този интервал с фиксиран (вж. Теорема 2, § 2.15).
От тогава, в продължение на определен неравенството
където интеграла върху правилните клони и не зависи от това. Но тогава неразделна (12) и равномерно клони върху формалното диференциация (11) е легитимно, а формулата (12) е осъществена (вж. § 2.15, стр. 198).
Подобно оправдано легитимността на официално диференциация при получаването на частично производно.
По подобен начин, като се използва комплекс преобразувание на Фурие, ние може да реши проблема на топлопроводимост за безкрайно в двете страни на пръта (вж. § 5.6, където разтворът се получава чрез разделяне на променливите на Фурие).
5.12.2. Уравнение колебания неограничени струни. Както е посочено в § 5.7, уравнението на вибрационното низ има формата
Нека да решим уравнението (13) с началните условия
Ние предполагаме, че функцията е такава, че всички изчисления, които ще бъдат направени по-долу, са законни.
- комплекс трансформация на Фурие функция (обратен).
Интегриране на части (приемайки, че изчезне в), получаваме
Увеличаването уравнение (13) към и от първоначалните условия (14) и интегриране в диапазон от до използване на (15) получаваме спомагателната уравнение
Началните условия са написани
Решаването на уравнение (16) (обикновено диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти), получаваме
Формулата на инверсия (вж. (19) § 4.12) дава
Така че ние имаме, че
Свързани статии