В училище математика има теми, които традиционно се считат за лоши учители. Аз няма да отида в причините за това, тъй като това е мое лично мнение. Тези проблеми включват предимно вектори и трансформация. Те, разбира се, е трудно за възприемане на учениците на училището, както и вектори и preobrazovaniya- го отвори в голямата математика. Например, учениците достигат векторите за първи път се сблъскват с факта, че математиката не е само цифри, но и науката на предмети (направени от човека), от различно естество, за които интуитивни идеи не винаги работят, както и необходимостта от ясно възприемат теорията: определения, свойства, теореми. По принцип векторите не са необходими за изпита по математика, но те са, разбира се, са необходими за възприемането на физиката и полагане на изпит по физика. Преобразуване, за да бъдем честни, това е най-важното концепцията за висшата математика. В училище, ние считаме, най-простият от неговите частни случаи: движението и дилатация. Подробности за тях трябва да се срещат в най-кратки учениците, които ще учат в техническите университети.
Определение. Вектор е насочена отсечка, т.е. сегмент, в който единият край се определя в началото и в другия край и определя посоката: от началото до края.
За да определите вектор нуждата да се определи дължината на отсечката и неговата посока.
По този начин, векторът е математически обект номер със стрелката. Броят е дължината на сегмента, стрелката показва посоката. Обесен на редица стрелка с него вече не може да се третира като число. Ето, например.
Помислете за нещата, които не са традиционно абсорбират студенти
Определение. Проекцията на вектора на оста е дължина на сегмента между проекциите на неговото начало и край.
Забележка. Проекцията на точка на оста е в основата на перпендикуляра от гледна точка на тази ос.
Определение. Координати vektora- прогнози то си върху координатните оси (виж фиг.)
Нека вектор, както е определено координира тогава vektorimee по оста X координира и координатната на osiY
Сега нека разгледаме някои от формулите. При един вектор и известните координатите на своето начало и край, и
Тогава абсциса равна, а ординатата е. Следователно, ако известните координатите на началото и края на вектора, неговите координати са координати, съответстващи на разликата на своя край и начало, т.е.. където,.
На следващо място, помисли правоъгълен триъгълник. От теоремата на Питагор, което имаме. Това е формулата на дължина вектор
Забележка. Очевидно е, че тази формула може да се използва за изчисляване на разстоянието между две точки (например, А и В виж фиг.)
Сега ние се въведе в Декартова координатна система (двуизмерен за простота) и двата вектора. Те се наричат единичен вектор или вектори базисни
Определение. Ние казваме, че вектор на вектори разложен. ако е необходимо да има равенство, и къде са цифрите, които се наричат коефициентите на разширение
Научете как да се разложи вектор на базисни вектори.
Като се има предвид вектор
След това, в съответствие с правилото, че имаме успоредник. Както се вижда от графиката,
След това, това означава, имаме желаното разширяване
Сега, помислете за важна математическа операция: скаларна продукт на вектори. Стойността му се крие във факта, че отнема обекти от същия характер (в нашия случай векторите) в брой. Така че ...
Определение. В скаларен продукт на два вектора е число, което е равно на произведението от дължината на векторите на косинус на ъгъла между тях
Определяне. Тя е символ (символ) на скаларен продукт
Така че по дефиниция можем да пишем - ъгълът между векторите и
Теорема. Да. след това
Докажете това твърдение сам. Вектори, трябва да бъдат разширени чрез единичен вектор да се възползват от свойствата на скаларен продукт, както и формули, които следват от дефиницията на скаларното продукт: и
Теорема (перпендикулярност векторите критерий). Нула вектори са перпендикулярни, ако и само ако тяхното скаларно произведение е нула.
Определение. Вектори се наричат колинеарни, ако попадат в една и съща или успоредни линии
Теорема (колинеарност вектори критерий). Нула вектори са колинеарни, ако и само ако техните координати са пропорционални
(Аз препоръчвам да се разбере, теореми по-долу. На пръв поглед прост, но те имат сериозен стил по математика)
Нека да има два комплекта А и Б. Ние наричаме превръщането на правило означава, които са изработени от А и Б, изпълнен правило на един елемент А съответства на един от елементите на Б. Така че движението е трансформация, в която се съхраняват разстояния, т.е.
Теорема. Директен превръща да насочва движението.
Нека е уточни движението на точки A, B, така че точките и.
Начертайте права линия през и. След това, когато
Изследване. Когато се движи лъча показва в ъгъл на излъчване - в ъгъла, в otrezok- сегмент poluploskost- в полуравнина. (Имайте предвид, че себе си)
Теорема (на движението за работа). Да предположим, че има три не-колинеарни (*) букви А, В, С, и А1. B1. С1. Такова че AB = А1 В1; BC = В1 С1; AC = А1 С1. След това е движение е такава, че А1 = F (А), В1 = F (В), С1 = F (С), и е уникална
Ние дефинираме преобразуването е такава, че М в M1 с AM = A1M1 и BM = B1M1. Нека да докажем, че е-това движение. За това, ние считаме, N1 = F (N), и да докаже, че MN = M1N1. В действителност, и. Тогава равни. Това означава, че е движение. Нека да докаже, че е уникален. Да предположим, че има движение гр :. След това ще бъде в другата полуравнина, че е противоречие, тъй като преминаването към половина, когато се движат на половин самолета. Така че движението е уникална и е е
Чрез движението включва като трансформация като централно и аксиално симетрия, въртящи се, трансфер
(*) Три точки се наричат колинеарни, ако те лежат на една и съща права линия. Терминът заимствани от теорията на вектори. Вектори се наричат колинеарни, ако те лежат на успоредни линии или на една и съща линия. Тъй като въпросът е вектора нула, тогава е естествено да се обадите на точка лежи на линия лежат на една права.
Определение. Хомотетия с център О и коефициент к 0 равнина е равнина трансформация, която отразява всяка точка X в точка X ", който
Наименование: -gomotetiya центриран при О и коефициент к
Лема. EsliA "и б" и б изображения tochekA с дилатация, а след това
Теорема. Dil всяка линия показва по линията
Примери за приложение хомотетия, вижте раздел "Интересни геометрия теорема"
Свързани статии