Особености на решенията на уравнения в цели числа, социалната мрежа на преподавателите

Sel'kov Мария, ученик 10 клас Maou SOSH № 11 g.Chaykovsky

Решение на алгебрични уравнения в цели числа с цели коефициенти с повече от един непознат е един от най-трудните и най-древните математически проблеми. Тези задачи са много заети с най-изявените математици на древността. решения на уравнения в цели числа е важна задача за съвременната математика.

Дори и в началното училище математика уроци на учениците често поставят задача да разбере при какви възможни стойности на буквите двете части на едно уравнение поемат еднаква стойност. За равенство в този случай, ние се гледа като уравнение по отношение на тази неизвестна величина. В осми клас се срещнахме с решаването на квадратно уравнение в една променлива. Но се подготви за олимпийските игри, като се има предвид за единните държавни изпита материали, студентите се срещат с задачите на предлагането на уравнение с две променливи.

Ето защо, тази тема е свързана с високи учениците, които дават на изпита по математика.

Също така, тази тема е от значение за университет физика и математика, за тези, които са любители на математиката и за тези, които са готови да участват в състезания.

Въведение ................................................................ страница 2
Характеристики на решаването на уравнения в цели числа .......... т.5

Уравнения с едно неизвестно ......................... т.5
Намирането на корените цяло уравнение с цели коефициенти .............................................. стр. 8
Разтворът от уравнения в числа с две или повече неизвестни ................................................... стр.11

Заключение ............................................................. стр. 15
Позоваването ................................................... стр.16
Заявление.

Решение на алгебрични уравнения в цели числа с цели коефициенти с повече от един непознат е един от най-трудните и най-древните математически проблеми. Тези задачи са много заети с най-изявените математици на древността, например, гръцкия математик Питагор (Вивек пр.н.е.), Александрийската математик Diophantus (III век пр.н.е.), Ферма (XVII век.), Л. Ойлер (XVIII век ) Zh.L.Lagranzh (XVIII век), P.Dirihle (XIX век), K.Gauss (XIX век), P.Chebyshev (XIX в.) и много други.

решения на уравнения в цели числа е важна задача за съвременната математика. Теоретични уравнения лихви в числа е достатъчно голям, тъй като тези уравнения са тясно свързани с много проблеми в теорията на числата.

Дори и в началното училище клас по математика пред нас често ние поставяме задачата да разбере при какви възможни стойности на буквите двете части на едно уравнение поемат еднаква стойност. За равенство в този случай, ние се гледа като уравнение по отношение на тази неизвестна величина. В осми клас, се срещнахме с решаването на квадратно уравнение в една променлива. Но се подготви за олимпийските игри, като се има предвид за единните държавни изпита материали, се срещаме със задачите на предлагането на уравнение с две променливи.

Ето защо аз смятам, че моята тема е свързана с високи учениците, които дават на изпита по математика.

Имаше желание да се разбере дали тези уравнения може да бъде решен, и какви методи се използват за решаването им, всички те имат един алгоритъм за решаване и, където е приложимо.

Като се има предвид различните източници, ние отбелязваме, че проблемът за решаване на уравнения в цели числа напълно решени само за уравнения с едно неизвестно, на първа степен уравнения първа и втора степен уравнения с две неизвестни. За горните уравнения от втора степен с две или повече неизвестни е доста трудна задача, дори и за съществуването на целочислени решения.

Проблемът все още е, че не всеки знае характеристиките на решенията на някои уравнения.

Тъй като има много подходи за решаването на уравнения в цели числа, но не всеки може или не знае как да ги използва. Решаването на уравнения с повече от един непознат е най-сложния проблем.

Разтворът от уравнения в цели числа в литературата се счита само за втора степен уравнения с две неизвестни. За решаването на горните уравнения от втора степен с две или повече неизвестни са труден проблем за намиране на всички решения в числа и установяване на наличието на краен или безкраен набор от такива решения.

работни места са често срещани, където ще трябва да реши проблема или в цели числа, или просто естественото.

В работата си се счита за задача на Олимпийските игри и материали за изпита задачи C6.

Да разгледаме характеристиките на решаването на уравнения в цели числа.

Научете за решаване на уравнения в цели числа по различни начини.
Нанесете различни методи за решаване на уравнения в цели числа в практиката.
Запознайте съученици как да решим тези уравнения.

Уравненията в числа

Методи за решаване на уравненията в числа.

Разглеждане на достатъчно голям брой на уравнения в цели числа, ще се направи изводът, че е налице алгоритъм за решаване на тези уравнения, или липсата на такова.

2. Характеристики на решаването на уравнения в цели числа

Решение на уравнението в един непознат е стойността на неизвестното, за които уравнението се преобразува в правилната числено равенство.

В съответствие с това решение от няколко неизвестни е набор от неизвестни стойности, които когато са заместени в уравнение тя се превръща в правилната числено равенство. Част от разтвора на уравнение с един неизвестен се нарича корените на уравнението.

1) уравнения с един неизвестен.

Помислете първо уравнение степен с едно неизвестно

Това е цяло число, само ако е неделими от. По този начин уравнение (1) не винаги е разтворим в числа; Така например, на първите две уравнения и има разтвор число. и на второ място в целите числа е нерешим.

Втора степен уравнение с едно неизвестно.

Със същото обстоятелство се срещаме в случай на уравнения от степен по-висока от първата: квадратното уравнение има целочислени решения. ; уравнение в числа е неразрешим, тъй като неговите корени. ирационално.

Помислете за проблема, който е даден от специфично състояние на интегралните стойности на корените.

Задача 1. квадратичен полином е цяло число корени на модул по-голямо от 2. докаже, че броят - съставно.

От Теорема Място:

Задача 2. Виж всички числа, а и Ь, че корените на уравнението х 2 + (2а + 9) х + 3b + 5 = 0 са различни цели числа, и коефициентите и 2а + 3б + 9 5 - прости числа.

Ние използваме свойствата на корените на квадратното уравнение: х 1 х 2 = 3б + 5. Чрез хипотеза 3б + 5 - просто число и X 1 и X 2 - числа. От свойства прости числа ние откриваме, че има само два случая: 1 х = 1, X 2 = 3б + 5 ИМ 1 = 1 и X 2 = - (3б + 5). Стойности на х 1 и X 2 могат да бъдат разменени, като в този случай, заповедта не е от значение. Отново използват свойствата на корените на квадратното уравнение: х 1 + х 2 = 2а + 9. Но тъй като един от модула 1 равна на (1 или -1), между корените, а вторият модул равно 3б + 5, следва, че 2а + 9 се различава от 3б + 5 към 1. Следователно, един от тях дори и Второто - странно. При условие, че и двете са просто. Известно е само един дори просто число - 2. Вторият се различава от последните, с 1, т.е. е 3 (1 не е просто число). Ние считаме, че коефициентите на уравнението са 2 и 3 се 2 от уравнението:

Първият не е решение. Втори корени, -1 и -2. И двете са числа. Следователно уравнението е от формата х 2 + 3 х + 2 = 0

2) намиране на цели корените на уравнението с цели коефициенти.

Намирането на целия корените на алгебрични уравнения с цели коефициенти тя се основава на следната теорема.

Да - уравнение с цели коефициенти. Ако броят. където р и р - числа и неделими фракции, е корен на уравнението, тогава р е делител на постоянен план. и р - коефициент делител от водещите план.

Ние не възнамеряваме да се докаже тази теорема. Нашата задача е да се покаже как тази теорема се използва при решаване на уравнения в цели числа.

1) Ако уравнението не е константа, т.е. 0 = 0, след това се изважда от скоби Х, колкото е възможно и да се получи уравнението по-малко постоянен срок не е равно на 0 и х = 0 корен.

2) Първото корена е методът на избор. Повтаря всички делители свободен член до първия корен х = х 1. След това се установи, от лявата страна на уравнението е разделена колона на х - х 1 и уравнение получава по-малка степен. Това действие се повтаря, докато квадратно уравнение, което се решава чрез формулата.

Пример. 3 х 6 + х 5 + 2 х - 0 = 12

Корените могат да бъдат делители константа, която е равна на 12. Това число от 1, 1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12. Проверете ги. Първо броя х = 1 е корен на уравнението.

Разделете лявата страна на уравнението на х-1: (х + 3 + 6 х 2 х 5 - 12) :( х - 1) = х + 2 х 7 + 12.

Ние получи квадратно уравнение, което се определя да се намери друг корен 2 -3 и -4. Както можете да видите, и двете от тях са делители на 12.

Знаейки един корен на полинома, можем да го разшири до множители, т.е. ако - коренът на полинома. на

В конкретен пример, помислете за друг подход за разлагане на полином множители за решаване на уравнения в цели числа

Решение: тъй като водещ коефициент е равен на един, р = 1. Свободен елемент има разделители 1, 2, 4, 8, 16. По този начин, ако това уравнение е корен, това ще бъде в основата на номерата ги подмените към лявата страна, ние получаваме Следователно лявата част се разделят на фактори, един от които (Y - 2).

Извършване на това разширяване е възможно при използване на метода, който се нарича метод за групиране. Нейната същност е да се въведе полином като сума от условия двойки, така че всяка двойка може да се изолира фактор (у - 2). От първия срок е равен. тогава ние трябва да вземат втори мандат. при което се образува пара. в които можем да вземем фактор у - 2. По този начин, на втория план, ние "спечелени". Остава. Добавяме 6Y, получаване на двойка + 6Y = -3y (у - 2) и т.н. В резултат на това ние имаме:

По този начин, да се намери останалите корените на уравнението трябва да бъдат решени - 3Y - 8 = 0. Неговите корени :. , но не и с цели числа, така че коренът на уравнението е 2.

Zadacha2. Намерете корените на цялата

2x 3 + 7х 4 - 12x 2 - 38x + 21 = 0.

Решение. свободен уравнение Терминът разделители: ± 1. Положителни делители на водещата коефициент 1. Следователно, всички интегрални корени са сред числа. Заместване х = ± 1, ние заключаваме, че само х = -1 е корен на това уравнение.

Разтворът от уравнения в числа

с две или повече неизвестни.

Тъй като проблемът за решаване на уравнения с две или повече неизвестни и по-висока степен на два решен да не се свърши, ще дам само няколко примера за решения на такива уравнения.

Задача 1. решаване на уравнението на положителни числа

Когато п = 25, уравнението
. Тя е под формата, че е невъзможно.

от уравнение (1) изрично m

От това, което може да се види, че М е естествено число, с п> 25 и. където - цяло число.

625, разделен на 5 градуса.

Помислете за всички стойности на д, т отнеме цели стойности.

. следователно, по-голяма от стойността на експресията. толкова по-малка е пит. Ето защо, ние следващия помисли уравнението няма никакъв смисъл, защото условие е изпълнено само в първите два случая.

Задача 2. Решете в цели числа уравнението

. са сравнително премиер, и техния продукт е равна следователно общата площада. в противен случай няма да има квадрат!

3. реши проблемът в числа уравнение

Решение. Разделяне на остатъка с 4 -6 получи -6 = 4 (-2) + 2. Ние представляват първоначалното уравнение като

4 (х - 2 у) + 2 + Y 11, Z = 7.

След смяна х = х - у 2, това уравнение може да се запише, както следва

4 2 х + у + г = 11 7.

Имайки предвид, че 11 = 2 1 + 5, трансформиране на последния уравнение:

4 х + 2 (Y + 5 Z) + Z = 7.

Настройка Y = Y + Z 5. получаваме

Това уравнение има следния разтвор: х. Y - произволни числа, Z = 7 - 4 х - 2 г. Следователно у = Y - Z = 5 20 11 х + у - 35, х = х + у = 2 41 22 х + у - 70.

Така, изходният разтвор има формата на уравнение

41 х = 22 х + у - 70

Свързани статии