Нека поговорим за една от темите на теорията на вероятностите - комбинаторика.
Комбинаторика - клон на математиката, че изучава комбинации и пермутации на предмети. Още комбинаторика могат да бъдат разбрани като сортиране опции. Комбинаторика стана през 17-ти век. Дълго време тя лежеше извън руслото на развитието на математиката.
С предизвикателствата, пред които трябваше да избират определени елементи, да ги подредите в определен ред и да търсите сред различни места най-добре, хората са изправени пред още в праисторически времена, избирайки най-добрата позиция за ловците, воини - по време на битката, инструменти - по време на работа ,
Комбинаторните умения се оказаха полезни и в свободното си време. Невъзможно е да се каже точно кога, заедно с конкурси в движение, дискуси хвърляне, скачане игри се появиха, настоявайки, на първо място, възможността да се разчита, за да се правят планове и да опровергае плановете на врага.
С течение на времето, имаше различни игри (табла, карти, дама, шах и др.) Във всяка една от тези игри, че трябва да помисли за различни комбинации от форми и победител е този, който ги е учил по-добре, знам печелившите комбинации и е в състояние да се избегне загубата. Не само хазарт даде храна за размисъл комбинаторни математици. И все пак за дълго време, дипломати, които искат да кореспонденция, които откриват сложни шифри и тайните служби, на други страни са се опитали да разрешат тези шифри. Приеха кодове въз основа на комбинаторни принципи, например, в различни пермутации на писма, заменяйки буквите с помощта на ключови думи и т.н.
Комбинаторика като наука започва да се развива през 18 век успоредно с появата на теорията на вероятностите, както за решаване на проблемите на вероятностите е било необходимо да се преброят на различни комбинации от елементи. Първото научно изследване на комбинаторика принадлежат на италианския учен Dzh.Kardano, N.Tartale (1499-1557), G.Galileyu (1564-1642) и от учени на Франция B.Paskalyu (1623-1662) и на Ферма.
По този начин, продуктът от всички цели числа от 1 до п включително се наричат п-факторен и напиши :! N = 1 2 3 ... (п-1) п
В комбинаторика за решаване на проблемите, свързани с разглеждането и изготвянето на набор от различни комбинации от елементите на тези комплекти. В зависимост от изготвянето на правилата, има три вида комбинации: пермутация, аранжимент, комбинация.
Отсега нататък работят само с наборите, съдържащи краен брой елементи. На определя безкраен и всички други неща, изброени правила и формули не се прилагат.
Теорема 2.1. Като се има предвид крайно множество от разединена. Тогава силата на обединението на тези набори е сумата от капацитета на набори от данни:
Доказателството на теоремата е очевидна. Но ние се интересуваме от друго тълкуване на тази теорема, която ние заявяваме за два комплекта.
Ако даден елемент можете да изберете как и елемент - начини, с който и да е метод за избор на елемент е различен от който и да е метод за избиране на елемент, тогава изборът "или" начини, по които могат да направят. Това правило се нарича върховенството на сумата.
Като се има предвид крайно множество от разединена. Означаваме броя на елементите в тези набори (тяхната дебелина). Помислете за декартово произведение на тези комплекти. Припомнете си, че елементите на този вектор ще работят (кортежи) от дължината на форма.
Теорема 2.2. Броят на елементите в декартово произведение на комплекта е равна на произведението от капацитета на тези комплекти:
Както и в предишния случай, ние заявяваме тази теорема опростен начин за двата набора. Ако елементът може да бъде избран методи и елемента - начини, с всеки метод за избиране на елемент е различен от всеки метод за избиране на елемент, тогава изборът "и" (т.е., чифт) може да бъде изработен от начини. Това правило се нарича правило на продукта или размножаването.
И двете формулирани правила са верни за всеки краен брой крайни множества, и, в подходяща форма, наречена генерализирана.
а) В клас на гимназията има три пети, които са обучени съответно 28, 31 и 26 студенти. Това отнема един от тях да изберат да участват в училищния съвет. В колко начина може да направи избор?
По време на управлението на получената сума.
б) В секцията по фигурно пързаляне участва 14 момчета и 18 момичета. Колко различни начини за децата, участващи в секциите, е възможно да се образува чифт спортове.
Според правилото творби получават.
Определение. Всяка дължина вектор, състоящ се от множество елементарни компоненти, където всички елементи са различни, наречен разположение без повторение на елементи. Броят на предложения без повторение на елементи от посочените и грижа.
Пример 2. закупени 12 различни книги. На рафта можете да сложите в редица точно шест книги. По колко различни начина може да бъде направено това?
Предполагаме, различни не само онези случаи, когато се приема всякакви книги, но също така, когато те са по различен начин поставя на рафта (в различен ред). След това ние говорим за рокади на 6 от 12. Получаваме :.
Да разгледаме друг случай значително, а именно когато множество елементи в вектори може да се повтори.
Определение. Всяка дължина вектор, състоящ се от множество членове елемент, състоящ се от елементи, където всички елементи са различни, по поставяне на елементи на повторения. Броят на разположения с повторения на елементи от посочените и грижа.
Пример 3. Колко различни комбинации може да се случи, докато хвърлят три зара?
Всяка матрица е куб, лицата на който се прилага от един до шест точки. С всеки хвърля ние ще се набори от формата, където - броя на точките, които са попаднали в съответната кост. Ние говорим за пермутациите с повторение на 3 елементи на 6. Ние получат.
Забележка. Очевидно е, че поставянето без повторение са частен случай на разположения с повторения.
Определение. Всяка дължина вектор, състоящ се от множество елементарни компоненти, където всички елементи са различни, без повторение се нарича пермутация на елементите. Броят на пермутации без повторение на елементи посочено и грижи.
От определенията и формули може да се види, че без повторения пермутация е частен случай на разположения без повторения предвидени.
Пример 4: Колко начини могат да бъдат организирани на рафт на 10 различни книги?
Тук, за разлика от пример 2, стойността е само за да се организира книгите. Ето защо, ние говорим за рокади от 10 елемента. Ние се получи.
Да разгледаме случая, където множество елементи се повтаря няколко пъти. За определеност нека първият елемент се повтаря отново, на втория елемент - време, и така нататък. Тогава дължината на вектори, получени от елементи на комплекта се наричат пермутации на елементите на повторение. Броят на тези пермутации е обозначен с и същи.
Поставянето в последната формула, ние получаваме формулата за пермутации без повторение.
Пример 5. Колко различни цифрени числа може да се съхранява с номера 1, 2, 2, 2, 3, 3?
Има набор от шест цифри, в които броят 2 се повтаря три пъти, а броят 3 - два пъти. Тези номера ще бъдат пермутации с повторение на 6 елемента. Ние се получи.
На първо място, нека отбележим една важна разлика пермутации на разположения. Ако разположения вектори се различават в състава на елементите, и тяхното подреждане (За) в комплекта, пермутация на векторите се различават само по подреждането на елементи. Естествено е да разгледа случая, когато векторите, а напротив, ще се различават само в състава на елементи.
Определение. Всяко разнообразие от вектори с дължина, съставени от множество елементарни компоненти, които се различават един от друг в множество от елементи, но не и тяхното подреждане в комплекта, се наричат на комбинации от елементи.
Ако всички елементи, които съединителят са различни, те се наричат комбинация без повторение. Определяне на комбинации без повторение. Формулата за изчисление. Ако някои (или всички) на елементите, образуващи комбинацията може да се повтори, те се наричат комбинации от повторения. Определяне на комбинации без повторение. Формулата за изчисление. Не забравяйте последната формула не е необходимо.
Забележка 1. Комбинациите са специален случай на разположения. Разликата между комбинации и поставяне на определението не е очевидна, но конкретни примери, че е лесно да се види. Например, вектори и са различни разположения, но представляват същата комбинация.
Забележка 2. За комбинацията от задължителните изисквания, без повторение, както и в случай на равенство на гласовете за най-естественият резултат. Но комбинации с повторения на това изискване не е, както ще се види от примерите по-долу.
а) 10 служители, работещи в отдела. Отнема тримата да изпрати на пътуването. В колко много начини да се постигне това?
Тъй като единствено има значение, какво избран вид персонал, тогава ние говорим за комбинации без повторение на 3 елемента от 10. Така че ние имаме:
б) В цветарския магазин се предлагат на пазара, са 5 различни вида цветя. Купувачът е длъжен да направи букет от 7 цвята. В колко много начини да се постигне това?
Предполагаме, различни букети тези, които се различават един от друг по избор на цветове. Както цветята в букета може да се повтори, тогава ние говорим за комбинации с повторения на 7 елементи от 5. След това ние получаваме.
Един от най-известните примери за използването на комбинаторни формули е т.нар Тригонометрия. В общи линии, за биномно формула (биномно) Нютон е:
Със специално в случаите на прилагане на формулата (за случаите) лице в училище по време на учебни съкратен умножение формулите за:
На практика, за по-лесно прилагане на биномно на Нютон се прилагат така наречения триъгълник на Паскал, който съдържа числени полином коефициенти от дясната страна на формулата:
Свързани статии