Проблемите, довели до двойни интеграли
Проблемът на цилиндричната обем. Да разгледаме тяло ограничена повърхност Z = F (х, у) с S. база, разположена в равнината Oxy. и цилиндричната повърхност с образуваща успоредна на оста Oz. и насочване - линия, която е граничната област S (фигура 1 (а).). Това тяло се нарича цилиндричната. Вие искате да се изчисли обемът на този цилиндричната.
За да се реши този проблем, се разделят на домен на S (фиг. 1 (б)), мрежа от дъги на краен брой елементарни области (δS1), (δS2), ..., (δSn), площта, която е обозначена с δS1. δS2. ..., δSn съответно. Във всяка от елементарните области (δSk) (к = 1, hellip, п) избере произволно една точка Mk (XK, YK) и стойността на функцията на F точка (XK, YK) умножаване на квадратен областта δSk. F на продукта (XK, YK) δSk равен на обема на цилиндричното тяло с δSk отпечатък и височина HK = F (XK, YK). Сумата от всички тези работи изрази обема Вн пристъпи цилиндрично тяло, заменяйки около цилиндричната, т.е.
Нека диаметъра на елементарни региона (δSk) през дк. и най-големият от диаметрите - чрез λn. т.е.. Очевидно е, че ако λn → 0. п → ∞ на.
Том цилиндрообразната наречен ограничават обхвата на съответния етап на тялото на λn → 0.
Проблемът на маса плоча. Помислете за област S Oxy самолета. ограничена от затворена линия, където материалът се разпределя при плътност р = F (х, у) ≥ 0. Тази област се нарича плоча. Вие искате да се изчисли масата на чинията.
ОБЛАСТ S дъги мрежа е разделен на елементарни области (δS1), (δS2), ..., (δSn), площта, която е обозначена с δS1. δS2. ..., δSn съответно. Да приемем, че във всяка елементарна област δSk плътност е постоянна и равна на плътността в точка Mk (XK, YK) в областта, т.е. п.к. = F (XK, YK). След това продуктът от F (XK, YK) δSk изразява приблизителна маса на елементарни плочи (δSk), и сумата от всички тези продукти - приблизително тегло м-н цялата плоча, т.е..
Точната стойност на цялото тегло на плочата да се получи граница щракване λn → 0. където λn - най-големият от областта на диаметри DK (δSk) :.
По този начин, на две различни проблеми са довели до разглеждането на границата на една и съща двумерен неразделна сумата. Това ви позволява да влезе в общата концепция на двойния интеграл.
Дефиниция на двоен интеграл
Да разгледаме функция Z = F (х, у). определено в S. ограничена от затворена линия. ОБЛАСТ S дъги разделят мрежа за п елементарни области (δS1), (δS2), ..., (δSn) с площ δS1. δS2. ..., δSn съответно. Във всяка от елементарните области (δSk) (к = 1 ... п) избират произволно една точка Mk (XK, YK) и стойността на функцията на F точка (XK, YK) да се размножават площ δSk. Ние формират сумата на всички такива продукти
Това се нарича неразделна сума за F функция (х, у) в областта S.
Dk означаване на диаметъра на елементарни региона (δSk). Нека λn - най-големият от всички диаметри, т.е..
Определение. Броят Обадих се на границата на интеграла Накратко казано, когато λn → 0. ако за произволен брой ε> 0 съществува брой δ> 0. че ако λn <δ выполняется неравенство |I-In | <ε независимо от выбора точек Mk (xk ,yk ) в элементарных областях (δSk ).
Определение. Двойна неразделна от F функция (х, у) на площ S е границата на неразделна сума в λn → 0.
е (х у,) функция се нарича подинтегрален и площ S - площ на интеграция.
Двойният интеграл от F функция (х, у) в областта S е определен, както следва:
Одобрение. Границата съществува, ако функцията Z = F (х, у) е непрекъснато в затворения участък с площ.
Ако има определена граница, тогава F функция (х, у) се нарича интегрируеми в S.
По този начин, ние откриваме, че цилиндрообразната на силата на звука, изразено по следния начин:
Геометричната смисъла на двойния интеграл. Двойният интеграл от F функция (х, у) в областта S е равна на база обем цилиндрообразната на S и ограничен горна повърхност Z = F (х, у).
Също така, масата на плочата се получава от:
Физическият смисъл на двоен интеграл. Ако неотрицателна функция р = F (х, у) изразява плътността на повърхността плоча S. неговата маса е равна на двойния интеграл на тази функция от изкуство S.
Свойства на двойни интеграли
- 1) Ако F функция (х, у) и φ (х, у) е интегрируеми в S. интегрируеми тях и тяхната сума и разлика, и
където S означава площта на региона (S).
Изчисляване двоен интеграл в декартови координати
Случаят с правоъгълната зона. Да предположим, че искате да се изчисли двоен интеграл
където Р е област правоъгълник определя от неравенството на ≤ х ≤ б. в ≤ у ≤ г (фиг. 2). Да предположим, че е (х, у) ≥ 0 и непрекъснато в правоъгълника, тогава двойната интеграл е равен обем на тялото с основа, горна повърхност, ограничена P. Z = F (х, у). странично - равнини х = а. х = б. Y = С. у = г.
От друга страна, обемът на тялото, където S (х) - сечение на равнината на тялото, минаваща през точка х и перпендикулярна на оста Ox.
Тъй като се счита напречното сечение е извита трапец ограничена горе график функция Z = F (х, у). където х - се определя, в ≤ у ≤ г. то геометричната смисъла на определен интеграл, ние имаме:
Тук, на интеграл от дясната страна се нарича повторен интеграл.
По този начин, при изчисляването на двойния интеграл се свежда до изчисляване на двете определени интеграли; при изчисляването на "вътрешен" неделима (в скоби) х се счита за постоянно.
Забележка. Тази формула е валидна за всяка функция е (х, у).
Повтори неразделна е обозначен с:
По същия начин, можем да покажем, че
тоест, в резултат на интеграцията не зависи от реда на интеграция.
Свързани статии