Тема 1.2. Обикновени диференциални уравнения
Решение на различни проблеми по математическо моделиране се свежда до намиране на неизвестен функцията на уравнението съдържа независима променлива, желаната функция и производни на тази функция. Такова уравнение се нарича разлика.
Определение. Решение на диференциално уравнение е всяка функция, която се превръща в това уравнение за самоличност.
Символично диференциално уравнение може да се запише по следния начин:
F (X, Y, Y '. Y' '. Y (з)) = 0
2х + у - 3Y '= 0 у "с 2 - 4 = 0, грях Y' = COS XY, Y '" = 2x са диференциални уравнения.
Определение 2. За диференциално уравнение наречен най производни ред в уравнението.
XY "+ у - 2 = 0 - първото уравнение за
'+ 7y'- 3Y = 0 Y' - уравнение трети ред
3. Определяне на първи ред диференциално уравнение е уравнение на форма F на (X, Y, Y ') = 0
Y '= F (х, у) - уравнение от първи ред, позволеното относно производно.
Определение 4. взети поотделно диференциално уравнение се нарича специално разтвор.
Определяне 5. Функцията дава от формулата у = (Е (х, С) или Y = Y (Х, C) - е общ разтвор на диференциално решението на F (х, у, у) = 0 или
Коши проблем. За конкретни задачи често се налага да бъде изолиран от съвкупността от решения на диференциални уравнения е конкретно решение, което е отговор на този въпрос. С цел по отношение на всички решения за разпределяне на отделна интегрална крива, се определят така наречените начални условия.
В случай на първата диференциална за уравнения Y '= F (х, у) при първоначална условие за неговите разтвори у = у (х) реализира условията, състоящи се с това, че Y = йо при х = оксо т.е. у (оксо) = йо, където оксо и йо - предварително зададен брой (изходни данни), така че, когато х = у = оксо и йо функция е (х, у) има значение, т.е. Има F (Хо. YO).
Дефиниция 6. Задачата за намиране на конкретно решение на диференциално уравнение, което отговаря на дадени начални условия се нарича Коши проблем.
В случая на първите за диференциални уравнения на проблема Cauchy е формулиран, както следва: разтвор Y = Y (Х) уравнение Y '= F (х, у), което отговаря на дадени първоначалните данни (. Хо YO) Първоначално състояние
ОПРЕДЕЛЯНЕ 7. диференциално уравнение се нарича уравнение с делими променливи, ако има следната форма: Y '= f1 (х) f2 (у) или
Теорема: Ако интеграли ∫dy / f2 (у) и ∫ f1 (х) DX, общата интеграл на отделен променливи определя от уравнението
F2 (у) = F1 (х) + C, където F2 (у) и Формула 1 (х) - някои примитивите функции съответно 1 / F2 (у) и f1 (х).
В решаването на диференциални уравнения с разделящи се променливи могат да се ръководят от следния алгоритъм:
1) за разделяне на променливите (като се вземат предвид условията, при които това може да бъде направено);
2) интегриране срок от термин получените уравнения с отделни променливи, намерят обща му неразделна;
3) да се установи дали разтворът на уравнението не може да бъде получена от общия разтвор;
4) намери специално неразделна (или разтвор), което отговаря на първоначалните условия (ако е необходимо).
Пример. Виж специално разтвор 2yy '= 1-3x йо = 2, ако 3 в х о = 1
Това уравнение с разделени променливи. Ние го представлява в диференциалите:
Следователно 2y * ди = (1-3 х 2) DX
Интегриране на двете страни на това уравнение, ние получаваме ∫ 2y * ди = ∫ (1-3x 2) DX получи Y 2 = х - х 3 + В. Чрез заместване на първоначалните стойности йо = 3 х о = 1 откриваме
С9 = С 11 + т.е. С = 9.
Следователно желания частично интеграл е Y 2 = х - х 3 + 9 или
х 3 + у 2 - х - 9 = 0
Определение 1. цифров серия е израз на формата
a1 + a2 + ... + AN .......... където А1. А2. AN ...... - номера, принадлежащи към определен брой система.
За съкратените наименования, използвани сумиране знак серия # 931;. и
Определение 2. номера А1, А2, ... AN. ... ..nazyvayutsya гледна точка на серията; AN - наречен общ термин от поредицата.
Определение 3. номер се нарича конвергентна ако последователността на неговата частични суми S1. S2. S3. Sn. клони, т.е. ако има краен срок
Броят S се нарича сумата от серията. Ако Лим Sn не съществува или Лим Sn = ∞, след серия
з → ∞ часа → ∞
Той призова различаващите се и не се дължи на нито числена стойност.
Теорема 1. Ако серията клони, а след това му общ термин клони към нула AN.
Ако Лим AN ≠ 0, или това ограничение не съществува, а след поредицата се отклонява.
Теорема 2. Нека се има предвид броя a1 + a2 + ... + AN .........., с положителна гледна точка.
Да приемем, че има Лим и Lim = P
1) ако F<1, то ряд сходится
2) когато R> 1, след това се отклонява.
Определение 3. Редовете, които съдържат както положителни, така и отрицателни условия, се наричат естествени.
Определение 4. естествено число се нарича абсолютно събиращи ако серията
| A1 | + | А2 | + ... + | AN | + .......... съставена от модули на своите членове.
Дефиниция 5. брой a1 + a2 + ... + AN .......... казва, че е условно събиращи се, ако тя клони, както и редица | a1 | + | А2 | + ... + | AN | + .......... съставена от модули от нейните членове се разклонява.
Определяне 6. номер се нарича променлив, ако положителните и отрицателните условията следват един след друг последователно (А1 + А2 + A3 - a4 + ... .. + (- 1) п 1 *
Теорема 3. Серията променливо клони, ако:
1) своите членове намаляват в абсолютна стойност
2) своя общ термин клони към нула,
Сумата на номер S удовлетворява неравенството 0≤ S ≤a1 на
Определение 7. Да u1 (х), U2 (х). ООН (х). - последователност от функции.
тип на изразяване # 931; ООН (х) = u1 (х), u2 (х). ООН (х) + наречена функционална страна.
Определение 8. Серията Функция се казва, да се сближат в точка XO. ако
получен от функционална серия заместване х = оксо. Това е поредица сходни. В същото време той призова конвергентната точка на поредицата.
9. Определяне на степента на серия е поредица от функции на формата
където х - независима променлива, Хо - фиксиран брой, АД. А1. А2. ... и п .... - постоянни коефициенти.
Раздел 2.1. Основи на дискретната математика.
Тема 2.1. Комплекти и отношения. Свойства на отношения. Задайте операции.
Плурализъм - основната концепция и теорията на множествата, които се въвежда без дефиниция. Комплектът е известно, най-малко, че тя се състои от елементи.
Зададената А е
Методи на комплекта:
1. Прехвърляне, т.е. списък на неговите елементи.
2. Процедурата се генерира, който описва метод за производство на множество елементи са получавали елементи или други предмети. В този случай, елементите на комплекта са всички обекти, които могат да бъдат конструирани чрез използване на такава процедура.
3. Описание на характерните свойства, необходими на нейните елементи.
Изберете множество различни начини N всички числа 1, 2, 3 ... ..
а) списък на набор N не може да се настрои, защото на неговата безкрайност.
б) процедура за генериране съдържа две правила:
1) 1 Î N; 2) когато п Î N, тогава п + 1 Î N
в) описание на характерните свойства на елементите на набор N:
Задайте операции.
1. съюз на комплекта А и В е
много състояща се от всички тези елементи,
които принадлежат към най-малко един от наборите
2. пресичане на комплекта А и В е
Комплектът се състои от тези и само тези елементи,
които са собственост и А и В (Фигура 3)
3. Разликата на масивите А и Б е набор от
всички тези и само тези елементи на А, че
не се съдържа в В. (Фигура 4)
4. Добавяне (за В) в серия А е
За да извършва операции върху комплекти и A = B =
допълни операция на множества А и Б, не могат да бъдат изпълнени, т.е. универсален комплект не е определена.
Връзка - един от начините за съотнасяне на множество елементи. Най-изучени и използва най-често са така наречените uparnye и biparnye връзка.
могат да бъдат определени отношения:
Нека R - съотношение на набор M, R ≤ М х М, тогава:
1. R - възвратен ако настъпи и R, и за всеки и Î М.
2. R - antireflexive, ако има такива, за всеки от тях Î M не се извършва и р а.
3. R - симетрично, ако R б носи сутиен.
4. R - antisemmetrichno ако ARB и сутиен означава А = В, т.е. за всяко различни елементи а и б (а ≠ б) не е изпълнено и едновременно ARB сутиен.
5. R- преходен ако ARB и сутиен включва дъга.
Тема 2.2 Основни понятия на теория на графите
Графичното представяне в най-широкия смисъл - всеки визуален дисплей система учи, процес явления в равнината. Те могат да бъдат разпределени на зависимости снимки, рисунки, графики представяне местностите план карта, блок-схеми на процесите, графики и т.н.
Графичното представяне - удобен начин за илюстриране на съдържанието на различните понятия, свързани с други методи за официални представителства.
Мощен и най-проучен клас на обекти, свързани с графично изображение, така наречените графиките.
Графика теория има огромни приложения, като му език, от една страна, ясни и разбираеми, а от друга страна - лесни за формално обучение.
Графично представяне в тесния смисъл на думата - описание на системата в процес на проучване, процес, явление означава на теория на графите като съвкупност от два класа обекти: върхове и линиите, свързващи ги - ръбове или дъги.
Определение: графика е колекция на две групи: V върхове и ръбове Е, между елементите на които са определени честота връзка - всеки ръб д Е е инцидент е два върха V ", V '' V, който го свързва.
Само за теория на графите, на графиката елементи, за да се запознаят с видовете графики и разглежда операциите по тях, можете да прочетете раздел 3 "теория на графите" str.195-214 учебник за един век редактирана G.I.Moskinova "Дискретна математика ".
Теми за самоподготовка 3.1. Основи на теорията на вероятностите и математическа статистика. Гръмотевици. Теореми на събиране и умножение на вероятности. Теми 3.2. Случайна променлива, нейната функция на разпределение. Теми 3.3. Очакванията и разсейването на случайна променлива. Можете да използвате следните книги: "V.S.Schipacheva основите на математиката", както и I.P.Natanson. Кратък курс на висшата математика или N.V.Bogomolov практика по математика.
Свързани статии