За всяка квадратна матрица A се въвежда броя на | A |, което се нарича детерминанта. Понякога дори посочи bukvoy.
Тази концепция е важно за решаването на практически проблеми. Ние го определят чрез изчисление.
Матрица на първата процедура на нейната детерминанта го наричат единственият елемент | A | = 1 = A11.
За втори ред матрица определящ фактор за неговата сигнатура, която се изчислява по формулата | A | = 2 = a11 * А22 - А21 * а12
За третия ред на матрицата е броят на своята детерминанта, която се изчислява по формулата
Това е алгебрични сумата от условията 6, във всеки от които съдържа точно един елемент от всеки ред и всяка колона на матрицата. За да се запамети формула детерминанта реши да използва т.нар принципите на триъгълници или изключи Sarrusa (фигура 6.1).
Фигура 6.1 - член триъгълници
Фигура 6.1 диаграма в ляво показва как да изберете елементи, за да се примири с знак "плюс", - те са по главния диагонал и във върховете на равнобедрен триъгълник, на базата на които са успоредни на него. Шофиране в ляво се използва за условия с "минус" подписва; на него вместо на основния диагонал взето така наречената страна.
Детерминантите на висок ред се изчислява повторение начин, т.е. детерминанта на четвъртия ред от определящ фактор за трети ред, определящ фактор за пети ред през четвъртото детерминанта цел, и т.н. За да се опише този метод, трябва да се въведе концепцията на малолетни и алгебрични допълнение матрица елемент (само за да се отбележи, че методът, който ще бъде разгледан по-долу, е подходящ за детерминантите на третия и втория ред).
Мала Aij на елемент матрица MIJ п-ти ред се нарича фактор на (п-1) -ти ред на матрицата А, получен чрез изтриване на аз-ти ред и к-тата колона.
Всяка матрица от ред N-2 непълнолетни има п (п-1) -ти ред.
кофактор матрица Aij елемент Aij п-ти ред се нарича малка взети със знака (-1) (I + J):
Определението предполага, че Aij = MIJ. ако размерът на линия и колона числа е дори, iAij = -Mij. ако това е странно.
Например, ако
Метод за изчисляване на детерминанта е следното: детерминантата на квадратна матрица е сума от продуктите от елементи на всеки ред (колона) от техните кофактори:
(Elementami разширяване на втория ред;
(Elementamj разширение в първата колона;
Отбележете, че в общия случай, детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на елементите на основната диагонала.
Нека да формулира основните свойства на детерминанти.
1. Ако някой ред или колона на матрицата се състои от всички нули, детерминантата е равно на 0 (това следва от метода на изчисляване).
2. Ако всички елементи на всеки ред (колона) на матрицата се умножава по същия номер, след това си детерминанта се умножава по този номер (както следва от метода на изчисляване - изчисляване на кофактори не се повлиява общата фактор, както и всички други термини, се умножават тя е на този номер).
Забележка: Знакът на детерминанта може да направи общ фактор е в ред или колона (за разлика от матрицата, за които този знак може да направи общ фактор на всички елементи). Така например, но
3. своята детерминанта не се променя при транспонирането на матрицата: | А Т | = | A | (Доказателство няма да похарчите).
4. разменени два реда (колони) на детерминанта на промените на матрицата на обратен знак.
За да се докаже този имот първоначално се предположи, че разменят две съседни редици от матрицата: I-I и (I + 1) ти. За изчисляване на фактор на оригиналната матрица е възможно за разлагане на аз-ти ред, и за детерминанта на нова матрица (ред-дейонизирана) - при (I + 1) та (това е, че е същата, т.е. елемент от елемент мач). След изчисляване на втората детерминанта, всеки алгебрични допълнение ще има обратен знак като (1) ще бъде не изработена степента на (I + J), и на степента на (I + 1 + J), но в противен случай няма да се различават формула. По този начин, определящ фактор за обратен знак.
Сега се предполага, че не пренаредени съседни, и всеки две линии, например, изо-и и (I + т) х. Това пермутация може да бъде представена като последователно smescheniei natstrok ия ред надолу, и (I + у) -тият ред - на (Т-1) застане 1. Това ще промени знака на детерминанта (т + t-1) = 2t- номер 1 време, т.е. нечетен брой пъти. Следователно, в крайна сметка тя ще се промени в обратното.
Подобни аргументи могат да бъдат разменени за колона.
5. Ако матрицата съдържа две идентични ред (колона), тогава детерминанта е равно на 0.
В действителност, ако същите редове (колони), за да обменят, ще се получи същата матрица със същите детерминанти. От друга страна, предишният имота трябва да се промени знак, т.е. = - = 0.
6. Ако елементите на двата реда (колони) на матрицата са пропорционални, детерминантата е равно на 0.
Този имот е въз основа на предишното имота и за изваждане на конзолата общ фактор (след отстраняване на коефициента на пропорционалност скоби в матрицата ще има същите редове или колони, и като резултат, този коефициент се умножава по нула).
7. сума на продуктите на елементи на всички ред (колона) матрични кофактори елементи от друг ред (колона) от същата матрица е винаги равно на 0:
За да се докаже този имот е достатъчно да се замени матрицата A к-ти ред наи-ти. В получената матрица ще има две идентични редове, така че нейната детерминанта е 0. От друга страна, е възможно да се изчисли разлагане на elementamj-ти ред:
8. детерминанта на матрицата не се променя, ако елементите на ред или колона на матрицата за добавяне на елементи от друг ред (колона), умножена по същия номер.
В действителност, дори ако се добавят елементи на аз-ти ред elementyj-ти ред умножена na. Тогава елементи novoyi-ти ред ще бъде под формата (AIK + ajk, k). Изчисляваме определящ фактор за новата матрица разлагане на елементите на аз-ти ред (имайте предвид, че кофактори на неговите елементи не се променят):
Ние открихме, че това определящ различен от определящ фактор за оригиналната матрица.
9. определящ фактор за продукта за матрица е равна на произведението на техните детерминанти: | AB | = | A | * | Б | (Доказателство няма да похарчите).
Посочените по-горе характеристики на детерминанти, използвани за по-лесно изчисление. Обикновено се опита да я превърне в една матрица във форма на колона или ред, за да съдържа най-много нули е възможно. След това, детерминанта е лесно да се намери разширяване в този ред или колона.
Свързани статии