Да докаже, формулиран в § 3 на теоремата за съществуване на решения на проблема Коши, първо трябва да се разгледа Arzel'a доказателства. Предварително се въведат няколко дефиниции.
Определение 1. семейството на функциите е равномерно оградена на интервал, ако има няколко такива, че за всяка функция на това семейство, и всички от сегмента извършва
Като пример, помислете за едно семейство, където - параметър на семейството. Тъй като за всеки номер ще бъде даден на семейството от функции е равномерно оградена на цялата реална ос. Напротив, семейството на функции не е равномерно оградена на всеки сегмент, т.е.. А. За всяко число съществува номер и значение е това, което се случва.
Определение 2. Едно семейство от функции, наречена опа-продължително на интервал, ако за всяко съществува такова, че за всяка функция на семейството и всеки две точки и интервала, за които :, неравенството.
Да вземем например едно семейство от функции. След това ще забележите, че за всеки две точки и след оценката :. В този случай и не зависи от семейството. От друга страна, за семейство получите
. Големината ще зависи от параметъра на едно семейство, следователно, семейството не е равномерно непрекъсната.
Определение 3. последователност на функции е равномерно конвергентен в интервала на граничната функция, ако за всяка съществува число такова, че за всички помещения и за всяка дължина на писти :.
Известно е, че ако последователност на непрекъснатост равномерно клони на интервал, ограничаване на функцията на тази последователност, ще бъде непрекъснато в този интервал. Ако последователност на непрекъснатост клони, но не е равномерно конвергентна, тогава граница функция може да бъде прекъснат. По този начин, всички функции на последователността са непрекъснати на интервала [0, 1], но тази последователност не е равномерно конвергентен в този интервал, и граничната функция е прекъснат:
Свързани статии