Променлив серия е специален случай на серия променливо.
Определение 2.2. Числен серия. чиито членове, след като всички стаи са с различни знаци, наречени променливо.
За серия редуващи има следната обща достатъчно за конвергенцията.
Теорема 2.2. Да предположим, че се дава серия променлив
Ако серията се състои от членовете на редица модули
тя клони се променлив серия (2.2).
Трябва да се отбележи, че обратното не е вярно: ако серията (2.2), това не означава, че няма да има серия (2.3).
Определение 2.3. Променлив серия се нарича абсолютно сходни. ако серия, състояща се от модулите на неговите членове се слеят.
Променлив серия се нарича условно обединени. ако той клони и серията се състои от модули от нейните членове се разклонява.
Сред поредицата променливо е абсолютно сходни серия имат специално място. Тези серии имат редица свойства, които заявяват, без доказателства.
- Ако серията е абсолютно конвергентна и има сума. След серия получен от него чрез прегрупиране, също клони и има същия размер. оригиналния сериал (теорема на Дирихле).
- Абсолютно конвергентна серия с суми и да termwise добавя (изваждане). Резултатът е абсолютно конвергентна серия, чийто размер е равен на (или съответно).
- Продуктът на два реда и се разбира редица видове:
Продуктът на две абсолютно сходни серия с сума е абсолютно сходни серия, чиято сума е равна на.
По този начин, се добавят абсолютно сходни серия заедно, изважда, умножени като обикновени числа. Сумата от тези серии не зависи от реда на членове на запис.
В случай на условно конвергентни серия съответстващ твърдения (свойства), като цяло, не се срещат.
По този начин, движейки се на членовете на условно конвергентна серия, е възможно да се гарантира, че сумата на промяната. Например, един брой на базата на условен клони Лайбниц. Нека сумата от тази серия е. Препишете своите членове, така че двамата ще отидат отрицателен след един положителен план. получаваме броя на
Сума е намален наполовина!
Освен това, чрез прегрупиране условно конвергентна серия точка конвергентна серия с предварително определено количество или дивергентната серия (теорема Риман).
Поради това, действието на серията не може да бъде произведен без да им абсолютна конвергенция. За да се установи абсолютна конвергенция с помощта на всички признаци на сближаване на числова редица с положителни условия, на мястото на общото понятие в целия си единица.
Пример 2.1. Изследване на конвергенцията на поредицата.
Решение. Редуването на оригиналния сериал. Помислете серия, състояща се от абсолютните стойности на условията на поредицата, т.е. серия. Тъй като. членовете на подобен брой не повече от членовете на серията Дирихле. което е известно, че се слеят. Ето защо, тази серия клони абсолютно въз основа на сравнителния тест.
Пример 2.2. Изследване на конвергенцията на поредицата.
Решение. 1) дадена серия променливо. Ние използваме знака на Лайбниц. Ние проверяваме дали са изпълнени условията.
Затова серията източник клони.
2) Да разгледаме серия, състояща се от абсолютната членството. Ние го прегледа сближаване, като се използва тест на Alembert
Въз основа на серията на Alembert, състояща се от членове на абсолютни слеят. Следователно, серията на източника променливо клони абсолютно.
Пример 2.3. Изследване на конвергенцията на поредицата.
Решение. 1) дадена серия променливо. Ние използваме знака на Лайбниц. Ние проверяваме дали са изпълнени условията.
Затова серията източник клони.
2) Да разгледаме серия, състояща се от абсолютната членството. Ние го прегледа за сближаване с помощта сравнение знака за ограничение. Помислете хармоничните серии. която да се отклонява.
Следователно, двете серии се държат по същия начин, т.е. серия, състояща се от членове на абсолютните, също се различава. Следователно, източникът конвенционално променлив серия клони.
Пример 2.4. Изследване на конвергенцията на поредицата.
Решение. Тази серия от променлив. Ние използваме знака на Лайбниц. Ние проверяваме дали са изпълнени условията.
Следователно, източникът отклонява.
Пример 2.5. Изчислете сумата от редица с точност.
Решение. Тази серия от променлив. Въз основа на Лайбниц, тази серия е конвергентна. Следователно, при изчисляване на стойността на изхвърли остатък броя, което също е страна променливо до друг, да не надвишава първия пренебрегвани план (въз основа на функция разследване Лайбниц).
Необходимият брой членове ще намерите, като изберете неравенството. Когато последната неравенство притежава, това означава, че ако ние отхвърляме в броя на всички членове, като се започне с шести, се постига необходимата точност. Ето защо,
3. функционална и
Определение 3.1. Нека функциите, определени в домейна. След експресия на формата
Тя се нарича функционална близост.
Даване на конкретни стойности. Ние получи числен серия
който може да бъде или конвергентна или дивергентната.
Определение 3.2. Ако цифровата серия клони. След това серията се нарича конвергентна в точката. а самата точка се нарича точка на събиране на поредицата. Наборът от стойности. в която серия (7.1), клони се нарича региона на сближаване на функционална серия.
Домейнът на сближаване на функционална серия означен. Като правило, в региона не съвпада с района. както е неговото подмножество, т.е. ,
Пример 3.1. Намерете областта на сближаването на функционална серия
Решение. В областта на функцията - това.
Тази серия е член на геометрична прогресия със съотношение. Подобна серия клони ако.
Ето защо, в района на конвергенция на поредицата тест е интервал. По този начин.
Тъй като всеки отговаря на определен брой - сумата на поредица от числа, след кореспонденцията определя функцията. който се нарича сумата от серия (3.1) в региона. Количеството на функционална серия в областта на сближаване се определя от
където - ти частични суми функционална серия.
В този случай - трябва ти почивка на функционална серия. В областта на сближаването на поредицата.
Пример 3.2. Намерете областта на сближаването, както и размера на функционална серия
Решение. Тази серия е геометрична прогресия със съотношение. Ето защо, тази серия клони. т.е. изобщо. По този начин, в района на конвергенция.
В областта на сближаването на функционална серия намираме сумата. Според формулата за сумата от геометрична прогресия, когато стигнем
Сред многото функции в областта на математиката и нейните приложения играе специална роля се нарежда, членовете на които са захранването аргумент функция.
Определение 3.3. Поредица мощност е поредица от функции на формата
където - са константи, наречени коефициентите на поредицата. - фиксиран брой.
Когато получите мощност серия от формата
Серията (3.2) може лесно да се намали до редица (3.3), ако определен. Поради това изследването на мощност серия понякога ограничава серия мощност (3.3).
Нека да изясним въпроса за конвергенция на поредицата мощност (3.3). Област на конвергенцията на тази сила серия съдържа най-малко една точка (серия (3.2) клони в точка).
В района на сходимост на степенен ред може да се съди въз основа на следната теорема.
Теорема 3.1 (Теорема на Абел). Ако серията мощност (3.3) е сходящ в точката. след това го доближава абсолютно изобщо. задоволяване на неравенството
Доказателство. Помислете за поредица от числа. който се доближава до състояние. Следователно, въз основа на необходимата конвергенция. Ето защо, всички членове на серията са ограничени в тяхната цялост, т.е. съществува положително постоянна. че за всички неравенството.
Пишем броя (3.3), както следва:
и формиране на абсолютния брой на членовете
Поради установения неравенството на всеки член е по-малък от съответния член експоненциално с знаменателя:
Ако. и развитието клони. Ето защо, за конвергенция на поредицата, съставена от абсолютните стойности. Така че, напълно сходни серия (3.3).
Въпреки факта, че. Ние не можем да използваме веднага сравнения игрални, както в теорема не се казва, че броят на мястото клони абсолютно.
Следствие. Ако серията мощност (3.3) се отклонява в една точка. то се отклонява и за всички. задоволяване на неравенството
Свързани статии