Лекция 2 януари
наречената директна трансформация на Фурие. ъглово функция честота # 150; Той призова Фурие образ или честотния спектър от функции. Спектър характеризира чрез съотношението на амплитуди и фази на безкраен набор от безкрайно малки синусоидални компоненти, съставляващи сума сигнал е nonperiodic. Работа на трансформация на Фурие математически писмено, както следва:
където - символ на пряката преобразувание на Фурие.
Спектърът на теорията за автоматичен контрол са графично изобразени като отделни реални и въображаеми техните части:
Фиг. 1 показва типичен образ на не-периодичен сигнал спектър.
Трябва да отбележим следните характеристики на спектъра непериодичен функции:
Спектърът на функцията на не-периодична време е непрекъсната;
ОБЛАСТ допустим диапазон стойности на аргумента
Реалната част на спектъра # 150; е дори функция на честотата, имагинерната част на спектъра # 150; нечетен функция, която позволява използването на половината на спектъра
Трансформацията на Фурие е обратим, което е, знаейки Фурие образ, може да се определи основната й функция # 150; оригинални. Съотношението на обратната трансформация на Фурие има формата:
или в стенограмите, където - символът на обратна трансформация на Фурие. Имайте предвид, че функцията време е трансформиране на Фурие, ако и само ако:
един ценен функция се състои от определен брой максимуми, минимуми и прекъсвания;
функция е абсолютно интегрируеми, т.е.
Обратното преобразувание на Фурие е възможно само ако всички полюсите - напуснали.
Да разгледаме примери за определяне на спектъра на функции време.
Намираме честотния спектър на функцията делта.
В резултат, един, равномерно и независимо от честотата валиден обхват, и имагинерна част на спектъра ще бъде равна на нула (вж. Фигура 2).
Ние считаме, честотния спектър на функцията на единица стъпка.
Тази функция не е изпълнено изискването за абсолютна integrability като
Ето защо, с Фурие образ не е.
нарича директен Трансформация на Лаплас. Комплекс променлива се нарича оператор на Лаплас, където - ъгловата честота, - положително постоянна. Функцията на комплексна променлива се нарича Лаплас изображение сигнал. Операция изображение определяне на оригинала се записва съкращение - когато - символът директен Трансформация на Лаплас.
Лаплас трансформира е обратим, което е, знаейки образа на Лаплас, то е възможно да се определи на оригинала, като се използва обратното съотношение преобразуване
или когато - символът на обратния Трансформация на Лаплас.
Имайте предвид, че на Лаплас трансформира представлява основната й функция, само когато и ако поведението на първоначалната функция не влияе на изображението. Класът от функции, които могат да бъдат трансформирани от Лаплас, е много по-широк клас от функции, които са трансформирани чрез преобразуване на Фурие. На практика всяка функция от времето ТАУ имат Трансформация на Лаплас.
Ние получат изображения на Лаплас за импулсни функции.
На практика, за извършване на пряка и обратния Лаплас маса трансформации превръщане се използва фрагмент от които е показан в таблица. 1.
Лаплас таблица за преобразуване може да се използва за определяне на Фурие образ на абсолютно интегрируеми функции, които са 0 при. За Фурие образ в този случай е достатъчно да се постави образа на Лаплас. Най-общо казано, тя изглежда като
Помислете основния формулирането на Лаплас трансформира теорема, които са широко използвани в TAU.
Теорема линейност. Всяка линейна връзка между функциите време на истинския образ на Лаплас тези функции;
Теоремата на диференциация на оригинала.
където - първоначалната стойност на оригинала.
За използване на фраза на втората производна
За производно за следното равенство:
За производната на поръчките нулеви начални условия, следната зависимост притежава:
което означава, че степента на диференциация на първоначалното време съответства на размножаването на изображението с нулеви начални условия.
Теоремата на интеграцията на оригинала.
В образа на сложните операции Лаплас на диференциация и интеграция са намалени до умножение и деление на операции, които ви позволява да превключвате от диференциални и интегрални уравнения на алгебрични уравнения. Това е основното предимство на Лаплас трансформира като математическите инструменти за контрол на теория.
забавяне теорема. За всеки истински взаимоотношения
Конволюция теорема (умножаване на изображения).
Теоремата на пределно допустимите стойности. Ако и след това
За да намерите оригиналната функция от имиджа си с помощта на обратна Трансформация на Лаплас. функция картина трябва да присъства под формата на Hevisayta използване на необходимите формули разлагането на рационална функция. Получената сумата от частични фракции се подлага на обратния Трансформация на Лаплас. Можете да използвате таблиците на Лаплас трансформира, които определят облика на много функции време. Фрагмент Лаплас таблица за преобразуване е показано в таблица. 1. В случаите, когато са налице комплекс-конюгат полюсите на изображението, е необходимо да се превърне прости фракции, съответстващи на една форма, подходяща за използване на Лаплас трансформира маса. Значително улеснява превръщането на използването на персонален компютър с пакети от математически програми с функции на пряка и обратния Трансформация на Лаплас.
Ние определяме оригинала върху изображението във формата на една рационална функция
Използването на разширяването Hevisayta за рационална функция с една нула полюс. след това
коефициенти на разширение са на формата
Изображение форма Hevisayta има формата
С помощта на теоремата на линейност и таблица за преобразуване на всеки термин, резултатът е
Графика на оригиналната функция има формата, показан на фиг. 3.
Кратко обяснение на алгоритъм за решаване на диференциални уравнения метод оператор например разтвори на диференциално уравнение на ред 2 в общата форма
Ние прилагаме теоремата на диференциация на изображения за намиране на производни
Ние се получи уравнението оператор, който използва линейна теория
Решете уравнението по отношение на,
Откриваме, при използване на прехода към форма на Hevisayta (разлагане Hevisayta)
Особено внимание следва да се обърне на изображението на производното на функцията на единица стъпка, която се определя, както следва:
Оказва се, погрешно решение, така че трябва да използвате, наречена "ляво" на първоначалните условия
Истинността на това може лесно да бъде проверено чрез заместване на разтворите в оригиналната диференциално уравнение.
Контролни въпроси и задачи
Какво налага ограничения върху пряката и обратна трансформация на Фурие?
Както и при Лаплас таблици за превръщане за получаване на честотния спектър на реалния сигнал # 150; непериодичен функция на времето?
Ако изображението се преобразува Лаплас има формата на рационална функция от вида, в който е по-удобно да представлява за оригиналната форма или под формата на Боде Hevisayta?
Определяне на оригиналното изображение следващия Лаплас
Определяне на оригиналното изображение следващия Лаплас
Свързани статии