Теория на вероятностите и математическа статистика

Предишен ◈ Следващото

Очакванията на биномно разпределение по-лесно да се изчисли от формула (4.4) М (X) = 3 НП = # 8729; = 0.3 0.9. дисперсия # 963; 2 = D (X) = = НПК = 3 # 8729, # 8729 0,3 0,7 = 0,63. Ние се конструира крива на разпределение (фиг. 4.1).

Когато М = L (вж. Фиг. 4.1), вероятността достига максимална стойност. Вероятността за поява честота се казва, че честотата, при която вероятността достигне максималната си стойност, и е означен с т 0. За да се определи най-вероятно броят с помощта на формулата:

Това неравенство на тон 0 може да бъде само цяло число. Ако така нататък - цяло число, тогава М = 0 PR.

Пример 4.5. Вероятността, че ще се плаща чек от продавача, равен на 0,9. Какво ще се изплаща най-вероятната броя на проверките, ако изписано 40 проверки?

Решение. Виж PR на продукта = 40 # 8729; 0,9 = 36 (цяло число), след което m = 0 36. Намираме T 0 от формула (4.9) 40 # 8729; 0,9-0,1 0 ≤ т ≤ 40 # 8729; 0.9 + 0.9; 35,9 ≤ m 0 ≥ 36.9. Това отговаря на двойно неравенство 0 число т = 36.

4.5. разпределението на Поасон

Разпределението на Поасон (разпределение право на редки събития) често се използва, когато се занимават с редица събития, настъпили в интервала от време или пространство (броя на автомобилите, пристигащи в автомивките за един час, броят на дефекти в новия сегмент на магистралата, на 10 км дължина, броят на местата изтичане на вода за 100 km тръбопровод. машина броя на спирките на седмица, броят на пътно-транспортно произшествие).

Ако вероятността за събитие А в п отделни независими опити е много малък (р

където # 955; = Np; п - брой независими изпитвания с постоянна ниска вероятност р; д - основа на естествените логаритми (д = 2.71828); m - брой случаи на събития (m = 0, 1, 2, 3).

С помощта на формула (4.10) може да се запише право разпределението на Поасон. Това могат да бъдат написани като серия на разпределение (таблица. 4.6), ако дава m неотрицателно цяло число m = 0, 1, 2. п, изчисляване на съответните вероятности Pn, т.

разпределението на Поасон

закон разпределението на Поасон може да се запише във формата на функцията за разпределение: # 955; ke- # 955; / к!

когато знакът означава сумата от вероятностите Pn, м за всички съм по-малко от п.

Като се използва формулата (4.11), може да се определи вероятността от настъпване на събитие най-малко веднъж в п независими проучвания. Тъй вероятностите Pn, т ≥ 1 и PN, 0 е вероятността противоположни събития,

Формула (4.12) се изчислява вероятността за настъпване на събитието най-малко веднъж в п независими изпитвания, ако вероятността от настъпване на събитие в отделни тестове постоянно и много малък, а броят на опитите е достатъчно голям (п ≥ 20), т. Е. условие Поасон формула приложимост (4.10).

Очакването и отклонението на случайната променлива разпределени по закон съвпадат Поасон и са равни на параметър # 955;, което определя закона, че е така. д.

(4.13) установява важна теоретична и вероятностен смисъл на параметъра # 955;. Последователността от събития, които се случват в произволни пъти, наречен поток от събития (например, на повикване към централата).

трябва да бъдат изпълнени следните условия.

Вероятността за поява на събитието е еднакъв за всеки две интервали с еднаква дължина.

Вероятността, че едно събитие ще се появи в кратък период от време (или пространство), е пропорционална на интервал.

В много кратък интервал от вероятността, че две събития ще бъдат близки до нула.

Вероятността, че всеки брой събития ще бъде в диапазона не зависи от началото на интервала.

събития появата или липсата на външен вид в рамките на определен диапазон не зависи от поява или без външен вид на събития по всяко друго интервал.

Пример 4.6. Да предположим, че ние се интересуваме от броя на колекторите, пристигайки на сутринта с кола на банката в рамките на 15 минути. Ако приемем, че вероятността на пристигане на превозното средство, е един и същ във всички два периода с еднаква дължина на времето и идването или не-пристигане на превозното средство във всеки даден момент не зависи от пристигането или не-пристигането по всяко друго време, колектори поредните остават в банката може да бъде описан от разпределението на Поасон.

Анализ на предишни данни показват, че средният брой на колектори, пристигащи в 15-минутен период е 10, а след това най- # 955; = 10 получаваме F (т) = # 955; мен - # 955; / m! = 10me -10 / m. когато m = 0, 1, 2 ...

Ако ние искаме да знаем вероятността за пристигането на пет колектори в продължение на 15 минути, след което в продължение на m = 5 получаваме: P (5) = 105E -10/5! = 0,0378.

Поасон вероятностно разпределение е по-лесно да се изчисли, като се използват специални маси на вероятностно разпределение на Поасон. Те съдържат стойности на вероятностите за даден m и # 955;.

Пример 4.7. Да предположим, че ние се интересуваме от броя на дефекти, които са се появили на конкретен участък от магистралата в един месец след неговото настилка. Предполагаме, че вероятността от дефекти е една и съща при всички две секции с еднаква дължина, и че появата или не-появата на дефекти на всяка магистрала интервал е независимо от появата на дефекти на друг сайт. Следователно, за да се реши проблема, можете да използвате за разпределение на Поасон.

Да предположим, че ние открихме, че броят на дефекти в един месец, след като асфалтиране, средно равно на две на километър. Нека да се намери вероятността, че в определен участък от магистралата дължина 3 км, не можахме да намерим някакъв дефект на един месец след асфалта. Тъй като ние се интересуваме от порядъка на 3 км дължина, на # 955; = (DEF 2 / km) + (3 км) = 6.

Това - очакван брой дефекти на три км участък от магистралата. Следователно, като се използва уравнение (4.10) или маса разпределение на Поасон # 955; = 6 и т = 0, ние откриваме, че вероятността за отсъствие
дефекти на три километра път е 0.0025. Резултатът показва, че липсата на дефекти в раздела за целева път е много малко вероятно. Вероятността, че най-малко един дефект се появява на трите километра наскоро павиран път, е 1-0,0025 = 0,9975.

Помислете за пример. където вероятностите са изчислени точно от Бернули формула (4.1) и от около Поасон формула (4.10).

Пример 4.8. 25 независими тестове, проведени с вероятност от поява на събитието A във всяка 0.01. Построява разпределение брой на случайни променливи X = М - брой случаи на събитие A. Вероятността Pn, т изчисли два начина: чрез уравнение на Бернули и формула Поасон. Получените резултати се сравняват и преценка на грешките при приблизителната формула. Чрез хипотеза, п = 25; р = 0.01; р = 0,99. Изчисляваме Pn, м, а намаляването им в таблицата. 4. 7.

Сравнение на вероятностите, получени от формулите

Бернули и Поасон

Вероятност сравнение показва, че вероятността Поасон изчислява по формулата почти съвпадат със стойностите, изчислени от уравнението на Бернули. Максималната грешка на резултатите, изчислени по формулата на Поасон е 0.002.

4.6. хипергеометричното разпределение

Направихме преглед на методите за изчисляване на вероятностите на събитията точно м пъти в п независими многократните опити (според формули Бернули и Поасон). Сега гледаме вероятност изчисляване на настъпване на събитието с точно м пъти в претенция зависими многократните опити. Случайна променлива, която определя броя на успехи в п повторни тестове на зависими, е предмет на закона хипергеометричното разпределение.

Пример 4.9. Урна N топки, сред които К и бял (N-K) черно. Без връщане на възстановените н топки. Ние дефинираме вероятността размер на пробата от п топки би m бял (и съответно п-т цветни) топки. Изобразяват ситуацията на схемата:

Случайна променлива на интерес е, X = т - броя на белите топки в обема на пробата на п топки. Броят на всички възможни случаи на селекция п топки от N е броят на комбинациите от N от N (CNN), а броят на избор на случаи м бели топки разположение на бели топки (а оттам и п-т черни топки от N-K достъпно черно) равна на произведението CKmCN-Kn-т (всеки от подбор m бели топки може да се комбинира с избора на всеки от п -m черно). Едно събитие, чиято вероятност ние искаме да се определи, е, че в проба от п топки ще бъде точно м бял топки. Съгласно формулата за вероятността на събитие в класическия модел, вероятността за получаване на проба м бели топки (т. Е. вероятността случайна променлива X е на стойност Т) е равна на

където Си Ен Ен - obshee брой на всички само е възможно, и еднакво вероятни резултати непоследователни, CKmCN-Кн-m - броят на резултати, благоприятни за случай на интерес за нас.

И така, вероятността от настъпване на събитие на интерес за нас точно м пъти в п зависими проучвания се изчислява с помощта на формулата (4.14), който определя стойността на закона хипергеометричното разпределение за т = 0, 1, 2, N (раздел. 4.8).

Хипергеометричното закон разпределение

Пример 4.10. Играна обръщение спечелване на пари заем, който vypushena N облигации, от които - печеливши. Някой трябва н облигации. Нека да намерим вероятността м от тях - печели.

Разсъждение в съответствие със схемата, описана от уравнение (4.14) ни интересува вероятността за спечелване на купувача връзки.

Пример 4.11. Колите влизат търговска зона с много 10 парчета от растението. Страните се договарят да спестят време и ресурси в търговския обект на кабина за качество и безопасност контроли само 5 от 10-те входящи автомобили. Обикновено 2 от 10 приети автомобили не отговарят на стандартите за качество. Определете каква е вероятността, че най-малко една от машините да бъдат сканирани 5 отхвърлено.

Решение. Има възниква вземане на проби без заместване, следователно, случайна стойност - броят на дефектните превозни средства - хипергеометричното разпределение подчинява: N = 10, K = 2,
К N = 8 и п = 5, т = 1, 2.

Пример 4.13. От 20 печеливши лотарийни билети се екстрахира произволно 4. 4 билет. изисква:

1) изграждане на закона на разпределение на печелившите билети сред избран;

2) конструиране на биномно разпределение на печелившите билети, за р = 0.2, п = 4;

3) сравняване на резултатите от разтвора на примери 4.12 и 4.13.

1. Според проблема N = 20, К = 4, п = 4. Съгласно формула (4.14), се изчислява вероятността P 4, т (т = 0, 1, 2, 3, 4) и изграждане на хипергеометричното разпространение (Таблица. 4.11) :

хипергеометричното разпределение

2. В зависимост от проблема, п = 4; за постоянна стойност на вероятност р приемем фракция спечели билети: р = 4/20 = 0.2; Q = 16/20 = 0,8. Според Бернули формула, се изчислява вероятността за всички възможни стойности на R (0, 1, 2, 3, 4) и изграждане на биномно разпределение (таблица. 4.12)