19 Намаляване произволна трансформация
нормалната формата

Вече споменахме, в § 18, в случая, когато трансформацията не е достатъчно линейно независими собствени вектори (т.е., когато техният брой е по-малък от размера на пространството), на основата трябва да се допълват, за сметка на така наречените свързани вектори (точното определение ще бъде дадено по-късно ). Този раздел осигурява метод за конструиране на основа, при което матрицата на трансформация има Jordan нормална форма. Тази база, ще разберете директно собствени и свързаните с вектори, и този метод на избор е, в известен смисъл, най-естественото 4.4.

Да - трансформация на собствената си значимост. Ние вече се използва това определение.

Определение 19.1 вектор се нарича правилното трансформация на вектора, съответстващ на собствена стойност, ако

Помислете за множеството на всички вектори, които отговарят на условието (1) за фиксиран. Ясно е, че комбинацията от тези вектори е подпространство.

Ние го обозначи. Лесно е да се види, че е инвариант при трансформацията (проверете!).

Имайте предвид, че подпространството, състояща се от всички собствени вектори на трансформация, съответстваща на собствена стойност, към която се прибавя друг нула вектор.

19.2 Определяне на вектора се нарича свързан вектор на 1-ви ред трансформира, което съответства на собствената стойност, ако векторът

Той е подходящ вектор трансформация.

Да - собствена стойност на реализация.

Помислете за подпространството, състояща се от всички вектори, за които условието

т.е. конверсия на двигателя. Ще означаваме това подпространство; Тя е инвариант подпространство. В действителност, обаче, т.е. , Ние трябва да се докаже, че вектора, т.е. това. Но превръщането пътува с, т.е.

Помислете за по-подробно някои от структурата на пространството. Тя има два вида вектори.

Ако, това е, , Тогава още повече, че и това е , Така, че е изцяло се съдържа инча Ако, но, че е

след това - свързан вектор на първи ред. Всъщност, в този случай тя има свой собствен вектор.

По този начин, подпространството се получава чрез добавяне на свързани подпространство вектори от първи ред.

По подобен начин се въведе подпространство на всички вектори за който

Това подпространство е инвариантен по трансформации. Ясно е, че пространството съдържа подпространствения предишния.

Определение 19.3 Векторът се нарича долепени вектора на ред, ако векторът

е асоцииран вектор ред.

Чрез въвеждане в работата, можем да покажем, че ако - свързан вектор на ред, а след това

С други думи, на свързаните с вектори на заповед, наречени вектор принадлежност, а не принадлежност.

Пример 1 Let - пространство на полиноми на степен на превръщане и - деривация:

Лесно е да се види, че има подходяща стойност. Съответното собствен вектор. Нека да се намери за тази трансформация на пространството. По дефиниция се състои от всички полиноми за които, т.е.

Тя ще бъде на всички полиноми от степен, които не надвишават. Асоциирани вектори са полиноми на заповед, степента на което е равна точно.

В този пример, размера на всеки от подпространства и е увеличаване с до с растежа. Подпространството имате цялото пространство, и ако искаме да се определи, и т.н. всичко това ще бъде една и съща подпространството.

Също така лесно да се види, че в този пример. Това е следствие от факта, че всеки полином от степен е производна на полином от степен.

Дейност, за да се покаже, че включването на някоя от линейна трансформация

Да - линейна трансформация, и - своя собствена стойност. Ние показваме, че първият подпространството са строго увеличава с нарастването на индекса, а след това, като се започне с определен брой, растежът спира, т.е.

(Вж. Като се има предвид в този параграф, например).

Ние вече сме показали, че всеки подпространствения съдържа, т.е. че с увеличаване на броя на подпространството, а оттам и техните размери, могат само да се увеличи.

От нашето пространство е ограничено, а след това за някои първи път получаваме, че (вж. Р упражнение.).

Ние показваме, че в този случай, т.е. че няма да се случи по-нататъшно увеличение на подпространството.

Наистина, предположи обратното, а именно, че, но по някаква 0 $ "ширина =" 44 "височина =" 33 "> подпространствения е строго по-голяма от. Тогава там е вектор, така че

Е обозначен с вектора. След първото от уравненията (4) означава, че, а втората, което е невъзможно, тъй като подпространства и съвпада предположение.

Така че, нека - стойност на собствената си трансформация. Основният резултат от този раздел е да се построят инвариантна подпространство, състояща се от всички собствени вектори и съответните вектори, съответстващи на тази собствена стойност.

В допълнение, в раздел 3, се нуждаем от по-подробна структура. А именно, сочещ подпространството, състояща се от вектори, свързани ред, ние получихме нарастваща верига на инвариантни подпространства

Всички членове на тази верига са различни. По този начин е подпространството на всички вектори за който

т.е. това е ядрото на преобразуването.

Трансформация трансформира всеки от подпространства на веригата (5) по-горе.

Да - трансформация на собствената си значимост. В този раздел ще се покаже, че пространството може да се разложи в пряка сума от две неизменни подпространства, първият от които реализация да има само една собствена стойност, а втората при преобразуването не разполага със собствени ценности.

Без ограничение на общността можем да предположим, че.

Наистина, нека. Разглеждане на трансформация; Тя вече има своя собствена стойност, равна на нула 4.5. Също така е ясно, че инвариант трансформацията подпространствения и същи.

Така че, ние ще продължим да вярваме, че трансформацията има своя собствена стойност. Нека докажем твърдението първи за специален случай, когато няма място в свързаните с вектори, съответстващи на тази собствена стойност, а само на собствени вектори 4.6.

Ние трябва да се изгради две неизменни подпространства, директна сума е равна. Първата от тях, която има своя собствена уникална стойност, можете да вземете множеството от всички собствени вектори, отговарящи на собствената стойност, с други думи, в основата на трансформацията.

Като втора подпространство вземат изображението на пространството в конверсията, т.е. набор от вектори, която минава през цялото пространство. Лесно е да се види, че всеки от тези места е инвариантен (това е доказано в претенция 4 §9).

Ние трябва да се докаже, че те дават разлагането на пространството в пряка сума. Тъй като сумата на ядрото и размерите на изображението за преобразуване е (cm. Претенция 4 §9), достатъчно е, че точката на пресичане на тези подпространства е нула.

Да приемем, че това не е така, т.е. нека има вектор, така че и. Оттогава тя има формата

където - вектор, на. Оттогава

Уравнение (7) показва, че вектор частен трансформация съответстващ собствена стойност, а уравнение (6) така означава, че е приложен първи вектор ред, съответстващ на същото собствена стойност. Приемаме, че конверсията не е свързано вектори, отговарящи на собствената стойност.

По този начин, е доказано, че подпространства и нямат общи вектори с изключение на нула.

Спомни си, че сумата от размерите на изображението и ядрото е, че ние се махаме оттук, че пространството е разпадащ се в пряка сума от инвариантни подпространства и:

Забележка От по-горе данни показват, че изображението и ядрото има пресичане, която не е нула, ако и само ако преобразуването е свързан вектори, съответстващи собствена стойност.

Разглобена специален случай ни дава представа за това как да се проведе доказателството в най-общия случай, когато има и свързаните с вектори, отговарящи на собствената стойност. Където подпространството е твърде тесен и неговото естествено разширена чрез добавяне на всички свързани с тях вектори, съответстващи по собствено значение. По този начин втората подпространството е твърде голям 4.7.

Така че, помисли АКТ претенция 1 инвариантна подпространство, състояща се от всички собствени вектори и съответните вектори на трансформация, съответстваща на собствена стойност. Както си спомняте, това е превръщането на ядрото, т.е. се състои от всички вектори за който

Вторият план е директен сумата вземем подпространството - образ на пространството за същата трансформация.

Лесно е да се види, че също е непроменен, при трансформацията. В действителност, ако това е, след това

т.е. също принадлежи.

Теорема 19.1 Пространството може да се разложи в пряка сума от инвариантни подпространства и. В този подпространство състои само от собствените вектори и съответните вектори, съответстващи на собствена стойност, а в подпространството трансформира обратимо (т.е., не е собствена стойност трансформация в подпространството).

За да се докаже първото твърдение, ние, както в горния конкретния случай е достатъчно да се покаже, че на кръстовището на подпространства и нула. Да приемем, напротив, т.е. нека има вектор, така че и. Оттогава