Рейтинг: 5/5

допирателната равнина на повърхността в точката му M_0 $ $ (допирна точка) се нарича равнината, съдържаща всички допирателни към кривата, изготвен на повърхността през тази точка.

Нормална към повърхността е права линия, перпендикулярна на равнината, допирателна и преминава през точката на допиране.

Ако повърхността на уравнението има формата $$ F (X, Y, Z) = 0, тогава уравнение $$ равнина, допирателна към $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ е $$ F_x "(x_0, y_0, z_0) (х -x_0) + F_y "(x_0, y_0, z_0) (у-y_0) + F_z" (x_0, y_0, z_0) (Z-z_0) = 0. $$

В случай на определяне на повърхността в изрично форма $$ Z = F (х, у) $$ уравнение на равнината, допирателна към $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ има формата $$ Z-z_0 = f_x "(x_0, y_0) ( х-x_0) + f_y "(x_0, y_0) (у-y_0), $$ нормално уравнение $$ \ Frac = \ Frac = \ Frac. $$

7229. а) Виж уравнението на допирателната равнина и нормалата към повърхността $ Z = \ греха х \ защото у $ на $ (\ пи / 4, \ пи / 4, \ пи / 4). $

За повърхност $$ Z = F (х, у) $$ уравнение на равнината, допирателна към $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ има формата $$ Z-z_0 = f_x "(x_0, y_0) (х-x_0) + f_y "(x_0, y_0) (у-y_0), $$ нормално уравнение $$ \ Frac = \ Frac = \ Frac. $$

Намираме частните производни:

$ Z'_x = (\ грях х \ COS у) "_ х = \ защото х \ защото у; $

$ Z'_y = (\ грях х \ COS у) "_ у = - \ грях х \ грях у; $

По този начин, уравнението на допирателната равнина: $$ z- \ = \ Frac Frac (Х- \ Frac) - \ Frac (у \ Frac) \ стрелкаНадясно $$ $$ \ fracx - \ fracy-Z + \ Frac = 0. $ $

7232. За повърхност $ Z = 4x-XY + Y ^ 2 $ да намерите уравнението на допирателната равнина успоредна $ 4x + у + 2Z + 9 = 0. $

За повърхност $$ Z = F (х, у) $$ уравнение на равнината, допирателна към $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ има формата $$ Z-z_0 = f_x "(x_0, y_0) (х-x_0) + f_y "(x_0, y_0) (у-y_0). $$

Намираме частните производни:

Следователно, ние откриваме, уравнението на допирателната равнина: $$ Z-z_0 = (4-y_0) (х-x_0) + (- x_0 + 2y_0) (у-y_0) \ стрелкаНадясно $$ $$ (4-y_0) (х-x_0) + (- x_0 + 2y_0) (у-y_0) -Z + z_0 = 0 $$.

Намираме повърхност точка $ М (x_0, y_0, x_0) $ допирателната равнина, която е успоредна на равнина $ 4 х + у + 2Z + 9 = 0: $

По този начин, уравнението на допирателната равнина: $$ Z-11 = (4-6) (Х- \ Frac) + (- \ Frac + 2 \ cdot 6) (у-6) \ стрелкаНадясно $$ $$ Z-11 = -2 (Х- \ Frac) - \ Frac (у-6) \ стрелкаНадясно 2х + \ fracy + Z-11-25-3 = 0 \ стрелкаНадясно $$ $$ \ Rightarrow4x + у + 2Z-78 = 0 $$.

7233. а) Виж уравнението на допирателната равнина и нормалата към повърхността $ х (Y + Z) (XY-Z) + 8 = 0 $ $ в точка (2, 1, 3). $

За повърхност $$ F (X, Y, Z) = 0 $$ уравнение на равнината, допирателна към $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ е $$ F_x "(x_0, y_0, z_0) (х-x_0) + F_y "(x_0, y_0, z_0) (у-y_0) + F_z" (x_0, y_0, z_0) (Z-z_0) = 0. $$

$ F (X, Y, Z) = х (Y + Z) (XYZ) + = 8 х ^ 2у ^ 2-XYZ + х ^ 2yz-XZ ^ 2 + 8 = 0 $

Намираме частните производни:

Следователно, ние откриваме, уравнението на допирателната равнина $$ 4 (х-2), 14 (у-1) -10 (Z-3) = 0 \ стрелкаНадясно 4x + 14y-10z + 8 $$.

7229. б) Виж уравнението на допирателната равнина и нормалата към повърхността $ Z = д ^ $ в точка $ (1 \ пи / 1 / е). $

7.230. Виж разстоянието от произхода до равнина, допирателна повърхност $ Z = Y TG \ Frac $ най $ \ наляво (\ Frac \ дясно). $

7233. б) Виж уравнението на допирателната равнина и нормалата към повърхността на $ 2 ^ 2 ^ + = $ 8 $ в точката (2, 2, 1). $

7234. Повърхностно $ х ^ 2-Z ^ 2-2x + 6Y = 4 $ за намиране на уравнението на нормалната, успоредна на линия $ \ Frac = \ Frac = \ Frac. $