Днес ние говорим за една тема, която е от значение за всички студенти класове 8-9, тъй като те започват сериозен възрастен да учат тригонометрията. Ние говорим за Радиан мярка на ъгъла, както и превода на ъгъла на Радиан мярка в степен и гърба. Но преди да започнем да се решат някои проблеми на изчисление на Радиан мярка, бих искал да припомня старото определение за това, което задължително, косинус и тангенс на ъгъл в правоъгълен триъгълник.

Малко теория

Нека да се направи правоъгълен триъгълник, нека да го наречем

и C C е ясна:

Ъгъл А ще бъде равна на а \ алфа градуса. В този случай, както си спомняте от училище геометрия Разбира се, задължително, косинус и тангенс ще бъде един и същ:

Както можете да видите, класическото определение за задължително, косинус, тангенс и котангенс се закрепва към правоъгълен триъгълник, а α \ алфа при всички случаи трябва да бъде по-голям от 0 ° и по-малък от 90 °.

Въпреки това, не е необходимо да се разшири определението за тригонометрични функции извън този обхват от 0 ° до 90 °. Както се случва и какво се случи в същото време ефекти - това е за него сега и ще поговорим.

За да започнете, нека разгледаме координатната равнина: прекарват х оста х, у ш и изграждане на единица кръга в центъра на произхода:

Малка изясняване на терминологията, което означава, че единичната окръжност? Това е много проста. Това означава, че неговия радиус е строго 1. С други думи, тя преминава през точката (1; 0) и (0, 1). И други две точки този кръг също минава. Сега трябва да се започне от произхода на лъча по оста Ox Ox. Ние говорим за положителната посока Ox Ox ос. След това ние се отбележи α \ алфа в посока х х до у у. Разбира се, това ще лъч пресича нашия кръг, в определена стойност, нека означаваме го точка Б Б. означаваме произход точка А А. Б Б тегленето на височината до абсциса х х. Получават В В. Тук отново получи същия правоъгълен триъгълник ABC ABC с ъгъл α \ алфа. чийто връх съвпада с произхода.

Какво е синусите?

Сега нека да пренапише задължително, косинус и тангенс с всички промени, за червения триъгълник. Пишем:

Всичко е едно и също. Все пак, имайте предвид, че Б Б вече не е някаква неопределена пространство, той има някакъв вид координати, както е в равнината на Oxy Oxy. Нека координати са (х; у) \ наляво (х; у \ вдясно). Ние не знаем какво точно са те, защото те не знаят ъгълът α \ алфа. .. В този случай дължината на сегмента BC BCravnyaetsya YY, т.е. ордината точка Б Б. Вместо BC BC можем да пишем гг, но вместо AB AB - 1. AB AB - това е един и същ радиус на нашия кръг, и на радиуса - 1. Write :

sinα = BC AB = Y = Y г

По този начин, можем да запишем, че sinα \ грях \ алфа всъщност е равна на ординатата на края на радиус на търкаляне на. Точно тази фраза често се сблъскват учениците в училищните учебници по математика. Така че, преди да продължите нататък, нека отново се вгледате внимателно в триъгълника ABC ABC и по-специално, B Б.

Прекарахме друга височина, го наричат ​​B C 1 B_>. Какво можете да кажете за C 1 _>, или по-точно, за дължината на AC 1 A_> - е у координира Б Б. От друга страна, интервалът AC AC, т.е. разстоянието от АА до CC - .. Има координатната хх CC точка и съответно , хх точка Б Б. Ние няма да е лесно да се докаже, че сегментите BC BC и AC 1 A_> равни. След това можем да кажем, че сегментът AB AB е равно на х ш. По този начин, задължително се занимавахме с. Наистина, синуса на ъгъла α \ алфа ордината е краят на движимото гама, която се проведе в точка Б Б. Сега нека да ни пишете на същия израз за косинус и тангенс.

Каква е косинус?

Това съотношение на съседната страна (в този случай крак AC AC) към хипотенузата (имаме AB AB). Но това, което е най-AC AC? Ние току-що видяхме, че AC AC - това е абсцисата, т.е., координатите х х ... A AB AB - това е същия диапазон, т.е. 1. Пишем: ..

cosα = AC AB = х г = х

Какво е тен?

Сега ние разбираме с TG α TG \ алфа. Налице е все още по-лесно. Какво е тен? Това съотношение на другия крак (както е в нашия случай е BC пр.н.е.) до съседната страна (в този случай, AC AC). Пишем:

TG α = BC AC = у х

По този начин, TG TG - съотношението на абсцисата на ордината до края на подвижната диапазон.

В този момент, много студенти вероятно питат: "Но защо е цялата тази сложност?". В този случай, когато B B просто даден от пресичането на лъча с кръг, може да се отложи всеки ъгъл α \ алфа. Сега не е се налагат никакви ограничения по отношение на избирането α \ алфа. Той не трябва да бъде под ъгъл в диапазона от 0 ° до 90 °.

Изчисляване на радиан мярка на ъгъла

Сега, когато разберат основните дефинициите на тригонометричните функции, преминете направо към темата на днешния урок.

За да започнете, нека да погледнем под ъгъл от 180 градуса. Тогава нашата лъч кука в обратната посока. В този момент в триъгълника пресича определена дъга от окръжност. Ние го дъгата BC BC се обади. Лесно е да се изчисли обиколката на формулата:

\ Pi \ tilde3,14. Но сега не се интересуват. Тъй като нашата кръг винаги има фиксирана радиус 1, дължината ще бъде равен на:

Въпреки 2π 2 \ пи - целият този кръг, т.е. пълен оборот ... Но ако се върнем назад до 180 °, а след това ние се само половината от него. Вследствие на дъгата на окръжността, ще бъде равен на:

л (180 о) = 2π = π 2

л \ лявата (180<>^ \ Текст \ вдясно) = \ Фрак = \ пи

И тук има забележителен ефект. Фактът, че един и същ ъгъл α \ алфа можем да означават едновременно 180 °, т. Е. използване стандартна мярка на ъгъл (а не радиан) и дългосрочните е тази дъга, която е. Е., Ние можем да предоставят ъгъл алфа \ алфа съответния брой π \ пи. Така че е номер π \ пи. т. е. с други думи, ъгълът не се измерва в градуси, а дължината на дъга, която намалява ъгъла. Това се нарича радиан мярка за ъгъл и е означен с π \ пи - радиани.

Днес, за да започнат да решават проблемите в радиани мярка и се отчита стойността на тригонометричните функции, просто не забравяйте, че π \ пи рад = 180 °. С други думи, ако не сте свикнали да работите с Радиан стойности, а след това, където и да видим в пи задължително, косинус и тангенс строителство π \. можете лесно да го замени с π до 180º и да преминете към познатия степен на Радиан мярка. Нека се опитаме и да разчита на първия израз и да намерите Радиан мярка:

Нека пишат отделно всяка от тези функции:

грях π 4 = грях 180 ∘ 4 = sin45 ∘ = 2 √ 2 \ грях \ Фрак \! \! \ пи \! \! \ текст<>> = \ Sin \ Фрак ^ \ циркулационната> = \ грях 45<>^ \ Circ = \ Frac>

COS пи 6 = COS 180 ∘ 6 = cos30 ∘ = 3 √ 2 \ защото \ Frac \! \! \ пи \! \! \ текст<>> = \ Cos \ Frac ^ \ Circ> = \ COS 30<>^ \ Circ = \ Frac>

TG π 3 = TG 180 TG = 3 ∘ 60 ∘ = 3 √ TG \ Фрак \! \! \ пи \! \! \ текст<>> = Tg \ Frac ^ \ Circ> = tg60<>^ \ Circ = \ SQRT

Сега запишете всички три фактора в една структура, за да се намери Радиан стойност. Това е всичко, което получих отговор.

Ние се обръщаме към втория израз и да намерите Радиан мярка:

Отново, записвайте всяка функция поотделно:

защото π 3 = cos60 ∘ = 2 януари \ защото \ Фрак \! \! \ пи \! \! \ текст<>> = \ Cos 60<>^ \ Circ = \ Frac

CTG π 6 = CTG 30 ∘ = 3 √ CTG \ Frac = ctg30<>^ \ Circ = \ SQRT

Отново, ние събираме всички получени номера.

Както можете да видите, нищо сложно в ъглови радиани Мерки не. Ако темата изглежда твърде сложно, просто не забравяйте, че π \ пи рад = 180 градуса, и където и да видим π \ пи. Можете спокойно да пиша на 180º.

Друг важен резултат от новата дефиниция на тригонометрични кръга е, че задължително, косинус и тангенс може да бъде отрицателна. Ако преди всичко се свежда до дължините на краката и хипотенузата, сега пред нас абсцисната и координатите на някои точки. В същото време не забравяйте, че отлагането на ъгъла винаги се върви в посока на оста Ox Ox да Oy Oy ос, въпросът е за положителните насоки на тези оси.

За да се разбере и винаги да помним, когато положителната посока на оста, просто не забравяйте правилото: там, където стрелката сочи в х и у, това е много положителна посока.

• Безплатна Подготовка за изпита 7 прости, но много полезни уроци + домашна работа
•