Променлив и редуващи се редове
1. Симптом на Alembert
2. Симптом Коши
3. неразделна тест за сближаването на редица
4. променлив серия. Лайбниц знак
5. редуващи се редове. Абсолютно и условно конвергентна серия
библиография
1. Симптом на Alembert
Теорема 1 (тест на Alembert). При един номер. където всички> 0. Ако има ограничение
след това при 0 ° С една серия клони.
◄Pust граница съществува
където 0 е 0, например,
,съществува номер N такова, че за всички п ≥ N неравенството
1, като се започне с някои N, неравенството
Следователно 0, и се различава, тъй като не изпълняват изискваната тест за конвергенция. ►
Забележка. ако
Или не съществува, тест на Alembert отговора на конвергенция или дивергенция на поредицата не го прави.
Примери. Изследване на конвергенцията на следните серии:
1.
◄ за тази серия са
Въз основа на серия клони на Alembert на. ►
2.
Имаме ◄
Тази серия се отклонява. ►
Теорема 2 (Коши тема). Като се има предвид броя на
Ако има краен срок
След 1) клони 2) за серия отклонява.
◄ 1) Да. Вземете номер Q, така че. Тъй като има лимит
къде. че от някои индекс N. неравенството.
В действителност, от известно равенство това предполага, че за всяка електронна, включително за
ε =. N. има редица, при които неравенството
или от това също,
.
От това можем да получите
за.
По този начин, всички членове на поредицата, като се започне с. по-малко от съответните условия на поредицата конвергентна. Въз основа на редица сравнения
клони и следователно конвергенция на серия (1).
2) Да. След това, като се започне с някои номер N за всички п> N. неравенството. или
И серията (1) се отклонява. ►
Забележка. Ако. след това (1) могат да се събират, и се различават.
Примери. Изследване на конвергенцията на следните серии:
3. неразделна тест за сближаването на редица
Теорема 3 (Сближаване на интегралната знака). Да предположим, че е дефиниран F функция (х), непрекъснато, положителен и не увеличава върху гредата. След това:
1) цифровата серия клони ако конвергентна неадекватно неразделна
2) се отклонява, ако неправилните неразделна отклонява (1)
◄ взема от графиката на е (х) от точката на абсцисната
X1 = 1, х2 = 2 х 3 = 3, .... Xn = N
и изграждане форма на два етапа, състоящ се от говорители и членове на правоъгълници, както е показано на фиг. 1. Площ Q криволинейна трапец, ограничена от линиите х = 1, X = N, у = 0, и крива Y = F (х) е равно на
Вземете н-ия частично сумата от:
S п = е (1) + F (2) + F (3) + ... + е (п),
След площ + Q е равно на изпъкналите форми
Q + = е (1) + F (2) + F (3) + ... + е (п-1) = S п-1
Квадратна форма е входящо Q-
Q- = + е (2) + F (3) + ... + е (п) = S п - е (1).
От изграждането и свойствата на F функция (х), следва, че
Q-0 за. че от (2) следва, че
S п 0 за п = 1, 2, .... Поради това има лимит
Какво означава сближаването на поредицата.
2) Да приемем, че интеграл (1) се отклонява. Тъй като по условие
е (х)> 0 за. на
S п ≥. п = 1, 2, ...,
т.е. серия се отклонява. ►
ПРИМЕР 1 Тест за гама конвергенция
◄ тук. Известно е, че неправилното неразделна
клони когато р> 1 и се отклонява при р ≤ 1. Следователно Серията клони за п> 1 и отклонява
при р ≤ 1. По-специално, за които р = 1 получаваме хармонична серия
ПРИМЕР 2 Тест за гама конвергенция
◄ В този случай, функцията и
= (Arctg б-arctg 1) =,
т.е. интеграл
клони, а оттам и конвергенция на поредицата. ►
ПРИМЕР 3 Тест за гама конвергенция
◄ Тъй като е даден общ термин от поредицата. след това изберете функцията.
неадекватно неразделна
отклонява, следователно, редица твърде различаващи се. ►
Забележка. Долната граница на интеграция в неадекватно интеграл
могат да вземат произволно, например, равна на една, където ≥ 1 - произволен брой.
Пример 4. За да се изследва за конвергенция на
◄ Тъй като общ термин от поредицата
След това, като функция на приемане
Тъй като неадекватно интеграл
клони, след което го доближава и оригиналния сериал. ►
В случай на конвергенция на метода се прилага в доказателството за сближаването на интегралната знак, тя осигурява оценка на грешката, която се проявява при смяна на сумите на частична сума.
Нека функция F (х) отговаря на условията на теоремата 9, редица
клони и неговата сума е равна на С. Може да се покаже, че в този случай ще се обединят и неправилното неразделна
Ние очакваме предварително определен брой Rn остатък Имаме
По този начин, размерът на грешка получава чрез заместване S конвергентна серия
си п-ти частично сума Sn. не надвишава интеграла.
Пример 5: Определете сближаването на
и за да се оцени грешката чрез замяна тя е в размер S5.
◄ Тук
Поради неразделна знаците клони на. Ще означаваме сумата от тази серия от S и да приемем, че
S ≈ S5. след това
S ≈ S5 ==
Ние очакваме, R5 грешка. имаме
Пример 6. Оценка п-ти остатък конвергентна серия
4 е серия променливо. Лайбниц знак
Определение. числова поредица
а1 - a2 + A3 - ... + (- 1) п - 1an + ...,
където всички числа са положителни за, наречена с променлив.
Пример. ред
Това е променливо, и редица
променлив не е така.
За серия редуващи имаме следния критерий сближаване, което се нарича Лайбниц маркер.
Теорема 4 (разполагат Лайбниц). Да предположим, че в серия променлив
a1 - a2 + a3 - ...
числова поредица
a1> a2> a3> ... Тогава серията клони, и неговата сума S е положителен и е над първия мандат:
◄ вземе дори S2n частична сума от тази серия и ще го напиша във формата на
S2n = (а1 - а2) + (A3 - а4) + ... + (a2n-1 - a2n).
От условията на теоремата, че разликата в скоби е положителен и следователно, S2n> 0,
където с увеличаване п S2n частично сума се увеличава. Тази сума може да бъде записано
и така:
S2n = а1 - (а2 - а3) - (а4 - а5) - ... - (a2n-2 - a2n-1) - a2n.
Тук всяка скоба е положителен, което означава, че
изтегляне на защитно фолио за
Свързани статии