1. Подходящи интеграли, в зависимост от [2.5]
Нека дефинирана функцията правоъгълник интегрируеми от сегмента за всеки фиксиран. В този случай, вдигна функция, наречена неразделна зависимост от параметър.
Теорема 1. Ако непрекъснато в правоъгълника, а след това на функцията:
1) е непрекъсната в сегмента;
2) интегрируеми от сегмента и равенството
41) разглежда увеличава. За да докаже на непрекъснатост на функциите, необходими за да се докаже, че. Тъй като функцията е непрекъсната в затворен комплект, от теоремата на Кантор е равномерно непрекъсната върху него. Ето защо,
Местоположение на теоремата на средна стойност получаваме това.
2) Тъй като функцията е непрекъсната върху интервала, е интегрируеми на този сегмент, т.е. Има двойно неразделна. Следователно повтори интеграли (включени в съотношение) са равни, което доказва валидността на формула 3
Теорема 2. Ако функцията и частично производно са непрекъснато в правоъгълника, тогава функцията е непрекъснато диференцируема на сегмента и негово производно може да бъде изчислена от Лайбниц правило.
4Rassmotrim допълнителна функция. Тъй като непрекъснато в правоъгълника, след предходната теоремата на непрекъснат и интеграл на функция може да се намери от формулата.
Следователно ,. Производното на интеграла на променливата горната граница на непрекъсната функция съществува и е равна на стойността на функцията на мястото, така че
В общия случай. Ако по някаква фиксирана функция на сегмента интегрируеми на един сегмент, в сегмента се определя, за да функционира
представляващи неразделна зависимост от параметър, чиито граници на интеграция също зависи от параметър.
Теорема 3. Да предположим, че функцията е непрекъсната в правоъгълник, а функцията и непрекъснато от сегмента. Тогава функцията е непрекъсната в сегмента.
4Pust - фиксирана. Представени в следната форма
Тъй - неразделна зависимост от параметър, с постоянни граници на интеграция и непрекъснато подинтегрален, след това от Теорема 1 тази интегрална е непрекъсната функция на и затова подходи.
За интеграли и следните прогнози (Теорема за средните стойности на):
къде. Тъй като функциите са непрекъснати на интервала, кога и така интегралите също са склонни да 0. По този начин, срокът на дясната страна и когато има. Следователно, функцията е непрекъснато във всеки момент сегмент 0,3
Следствие. Ако и след това
Теорема 4. Нека функцията и нейната производна са непрекъснато в правоъгълника. Да предположим още, че функциите и диференцируема в сегмента. Тогава функцията е диференцируема по отсечката, като
4Pust - фиксирана. Представени във формата.
- неразделна зависимост от параметър с постоянни граници на интеграция и непрекъснато подинтегрален, следователно, по силата на теорема 2, функцията е диференцируема на сегмента и.
По дефиниция на производната на функцията получаваме.
Според формула средна стойност. Функцията за непрекъснатост, че; и от и диференцируеми функции, следва, че. следователно
По същия начин ние можем да докажем, че. Тъй като произволна точка на сегмента, е възможно да се каже, че функцията е диференцируема на сегмента и негово производно може да бъде изчислен съгласно формула .3
2. Неправилно интеграли на отграничени функции,
в зависимост от параметъра
Нека определен в полу-интегрируеми функции в неадекватно чувство на половина за всяка фиксирана от сегмента. При тези условия, за определено функцията сегмент, наречен неправилно неразделна от първи вид, в зависимост от параметър. В същото време се каже, че интеграла клони в сегмента.
Неправилното неразделна се казва, че се събират равномерно параметър в сегмента, ако клони на сегмента и ако съществува, зависи само от това и неравенството.
2.1. признаци на сближаване
Теорема 5 (Cauchy критерий). Към неадекватно интеграл клони равномерно в параметъра в сегмента, е необходимо и достатъчно, за да бъде в състояние да се посочи броят на които зависи само от и такива, че:
Следствие. Неправилното неразделна клони равномерно върху сегмента, ако
Теорема 6 (подпише Вайерщрас). Нека дефинирано в половина и за всеки от сегментите функция е интегрируеми на всеки сегмент. Да предположим още, че за всички точки на половин лента неравенство, т.е. Той е еднакво оградена. След това, от сближаването на интеграла предполага единна конвергенция на интеграл от сегмента.
4Tak както е. От това следва, където се съчетават (критерий Коши) уеднаквено конвергенцията на интегрална .3
Следствие. Нека функцията дефинирани в половината, ограничено по този половин ленти и на всяка интегрируеми на всеки сегмент. След това, ако интегралните клони, а след това се слива еднакво по отношение на интегрална сегмент.
Теорема 7. (Признаци Дирихле и Авел).
Свързани статии