№1. Посочете определението и номерата на вектор Frobenius неотрицателно матрица. Формулирайте теоремата на Frobenius-Перон.
Определение. Максималната модул собствена стойност λA отрицателен матрицата се нарича номер Frobenius на матрицата, и съответната неотрицателна собствен вектор на А - вектор Frobenius за А.
Теорема: 1) λA - недвижими неотрицателно число. Налице е неотрицателно собствен вектор на една съответна на тази собствена стойност. 2) Ако А> 0, тогава λA> 0, и има положителен собствен вектор.
Номер 2. Докажете следното изявление: ако> 0 - собствен вектор на неотрицателно матрица. това е неговата вектор Frobenius.
Означаваме α собствена стойност принадлежи вектор. Ето защо. на равенство А = алфа. умножаването от ляво и като се има предвид A = λA. Имаме = λA, така че α = λA. Тъй като предположение> 0, не е равно на нула, така че α = λA. който завършва доказателството.
№3. Докажете следното изявление. Нека и S е минимален и максимален размер на елементи на колоните на А. След номер λA Frobenius матрица отговаря Т А = 1. А? ? A = λA? ? А;
№4. Запис на маса и структурно уравнение Леонтиев вход-изход баланс за модел trehotraslevoy икономика; посочват икономическата значимост в рамките на уравнение стойност. Изчисляване Запишете формула Leontyeva матрични елементи на известни структурни елементи маса междубраншова баланс.
? ? - уравнение вход-изход баланс (Eq Леонтиев). Vector на брутната продукция - ?. матрица на преките разходи - А, на крайния продукт вектор - ?. Aij =? ?. къде? ? - обемът на производството в сектора и се използват в производството на индустрията й ,? ? - брутната продукция й индустрия.
№.5-членка и да се докаже Първият критерий за ефективност, т.е. теорема че A≥0 матрицата продуктивен ако и само ако матрицата? (Е-А) -1? има и не-отрицателни.
Нека там? (Е-А) -1? ≥0, след което х = (Е-А) -1 * у, където двете фактор> 0, следователно. x≥0 и следователно продуктивен матрица. Нека A бъдат продуктивни. (E-A) X = е1. Това означава С1 ≥0, (Е-A) X = е2. s2 означава ≥0, следователно. (С1, С2, CN) = C≥0. (E-A) C = E≥C = (Е-А) -1 ≥0
№6. Докаже, че ако неотрицателно квадратна матрица е продуктивно, номер Frobenius е по-малко от 1.
Нека неотрицателно матрица A-продуктивни. След това за всяка неотрицателна вектор има решение. Да. След това, разбира се. Произведението на ляво на ляво вектор Frobenius и като се има предвид. това. Ние се получи. или. Тъй като и двете. , след това. , Ето защо, от последното равенство това.
№ 7. Формулиране на определение състав на производителността неотрицателно матрица. Формули за изчисляване на производителността на акциите чрез номера на Frobenius.
Нека A> 0 - продуктивна матрица. Наличност производителността матрица се нарича номер α> 0, че всички матрици λA, при което 1 1 = 1 / ((1-a11) (1-а22) - (а21 * а22)) * | 1-A22 -a21 |
Модел равновесие цена: P = A T р + V, където V = вектор (V 1. V 2. ..., о п) T - векторни норми добавена стойност. Както можем да видим, получените уравнения са много подобни на модела на Леонтиев уравнение, с единствената разлика. че вектор X се заменя със вектор р, вектора у - вектор V, матрицата се заменя със транспонираното - А Т.
Моделът на балансирана цена позволява, знаейки, стойността на правилата на добавена стойност, да се предскаже цените на производствените индустрии. Той също така ви позволява да се предскаже промени в цените и инфлацията в резултат на изменение на цените в един от клоновете.
№9. Дайте примери за задачи на линейното програмиране до минимум (на проблема с диета) и максимум (на проблема с използването на ресурси): формулировката на текста и математическа формулировка на проблема.
Проблемът на диета. Да предположим, че има 2 вида на Р1 и Р2 продукти. съдържащ хранителни вещества, А, В, С В 1кг продукти Р1 и Р2 съдържат определено количество хранителни вещества от определен тип.
Известно е: А, В, С - съответно консумация дневни А, В и С.
s1, s2 - разходите за 1 кг Р1 продукт и Р2, съответно.
Необходимо да се изчисли количеството на продукт Р1 X1 и X2 броя на Р2 продукт, за да се осигури необходимото количество хранителни вещества за мин цена на продуктите.
Математическият проблем на диетата е да се намерят стойностите на x1 на неизвестни. x2. отговаря на следните условия:
Проблемът с използването на ресурси. Нека трите вида ресурси R1. R2. R3 са налични в количества съответно от В1, В2, В3 в USD
Т1, Т2 - произведени стоки сега.
Aij - брой на ресурсни звена Ri (I = 1, 2, 3), необходимо за получаване на единица на стоки Ti (к = 1, 2).
С1, С2 - единици доход от всеки вид стоки, съответно.
x1. х2 - брой продукти Т1 и Т2, съответно.
Математическият проблема с използването на ресурси е да се намерят стойностите на x1 на неизвестни. x2. отговаря на следните условия:
№ 10. Довежда общо ZLP формулировка. Определете следните условия: целевата функция. допустимото набор от проблема, оптималното решение, оптимално комплекта.
Ако обективната функция и системата ограничения са линейни, т.е.. Е., всеки от които има форма а1 x1 + а2 х2 + ... + на Xn + б, математически програмиране проблем се нарича проблема на линейното програмиране (ZLP).
На практика често има ситуации, когато достигнат определена резултат не може да бъде. и няколко различни начина. Когато решенията са много, търсейки най-добрия. Математически това свежда до проблема: намери макс (минути) е (х) при условие, че променливата х варира по някакъв известен преди множество X. е (х) макс (мин), х ε х.
Такъв проблем се нарича проблема за оптимизация. Множество X се нарича допустима набор от задачите и F на функция (х) - обективната функция. Това е не само намирането на самата стойност макс (мин) е. но точката или точките, ако има няколко. в която се достига тази стойност. Те се наричат оптимални решения. Комплектът на оптимални решения се нарича оптимален набор и означават X *.
Номер. 11. Каква е стандартната форма на задачата на линейното програмиране? Какво е каноничната форма на линейното програмиране проблем? Дайте пример за проблема, чиято форма не е нито канонично, нито стандарт. Носете този проблем да каноническите и стандартни формуляри.
ZLP канонична форма, в допълнение към ограниченията на nontrivial включва само уравненията (Пример транспорт ZLP)
Стандартен формуляр ZLP се състои само от неравенства, включително тривиални ограничения.
Пример 1: Довежда това ZLP в канонична форма.
Пример 2. Водещият ZLP предварително определен образец.
Xi> = 0 XI> = 0
Номер 12. Въз основа на алгоритъма на графичния метод. изгради две линейни програмни проблеми със същата цел функция F (х1. х2) = X1 + х2. в едната от които има само един максимум точка, а другият - безкраен брой минимални точки. Възможно за региона на проблема е показано на чертежа и да посочат система на неравенство.
Свързани статии