17. За да се даде пример различни последователности, за които
Lim (х п + р - х п) = 0, р Н.
18. Да приемем, че N, N N. докаже, че последователност от десетични числа клони.
2.2.1 граница точка на комплект
Определяне 2.2.1. Нека X - който не е празен подмножество на множеството R. А точка се нарича R лимит точка на Х. Ако някой U околност на точка съществува, най-малкото, който не съвпада с. зададена точка X.
Определяне 2.2.2. Ако R и U една - известна квартал
точки и след това множеството U на \ се нарича прободен квартали
Стю точка и е означен с U а.
лимит точка на набор X.
Пример 2.2.3. Ако X = N, граничната точка на X е само + ∞.
Както се вижда от примерите, максималната зададена точка може да принадлежи на двете, и не принадлежи на него.
Теорема 2.29. Към точка R е определен лимит точка X R, е необходимо и достатъчно, че съществува последователност от елементи на X. от, схождащи се към.
Необходимост. Да предположим, че - граница точка на X. Ще приемем, че Р. След това, в съседство с U на (1 / п), п N има елемент на комплект X \, който е обозначен с х п. последователен
NOSTA притежава свойства: х п X \, а - п 1 Достатъчност. Да предположим, че последователността е такава, че х п X, X п = 6 А, X п → а. Ние се определи произволна квартал U точка а. Като граница последователност opredeleniyu2.1.3 съществува номер N = N (U а) е такава, че х п U а. п> N. Като се има предвид, че х п X \, ние получаваме, U, която съдържа един безкраен подгрупа от X, и следователно, по - ограничение точка на X. Теорема 2.30. Всеки безкраен набор от реални числа има поне една граница точка. Нека X - безкраен подмножество на набор Р. Ясно е, че има последователност от отделни елементи на X. Съгласно teoreme2.20 последователност е най-малко един частичен граница. Нека P (). Тогава nay- съществува последователност че а = Лим х п к. като х п к X, к N, и всички, но може да бъде различна от, а след това - граничната точка на X. Забележка. Всяко крайно множество X R не ограничава точки. В тази глава ние ще приемем, че X - който не е празен подмножество на множеството на реалните числа R, а - точка срокът на X, и в реално ценен функция е определена на X. Следователно, когато в бъдеще ще се говори за функцията F, означава, освен ако не е нещо друго, което е. X → R. Определение 2.2.3. Точка А R се нарича граница функция F. X → R на мястото на (или повече каже - граница функция е с тенденция до х), ако за всяка U съседство А точка А, съществува съседство U точка а, че изображението на всяка точка Забележка. От граничната функция opredeleniya2.2.3, че съществуването и размера на границата на F на функция в точка а не оказва влияние върху стойността на функцията е в точка на това, ако X; Освен това функцията F не може да бъде определена в точка а. Като се има предвид определението на квартал на крайната точка и определяне на R Околности безкрайни символи, ние се отбележи, че горното определение на функцията на определената точка може да бъде дадено по отношение на Определяне 2.2.4 (Cauchy). Ние казваме, че броят на А Р е границата на F функцията на точка за R, ако за произволен брой ε> 0 съществува брой δ = δ (ε)> 0 такова, че за всяко х X, който отговаря на условията 0 <|x−a| <δ выполняется соотношение За да перифразираме по отношение на "епсилон - δ" че Лим е = + ∞. Определение 2.2.5. Ние казваме, че а + ∞ е границата на F функция (х) при х → -∞, ако за произволен брой ε> 0 съществува брой δ = δ (ε)> 0 такова, че за всички точки X X, отговарящи х <−δ. выполняется неравенство f(x)> д. Пример 2.2.4. F функцията (х) = C, X R (в К), има ограничение в Теорема 2.31 (Heine). За A R е ограничение функция F. X → R на R, е необходимо и достатъчно за всяка поредица от точки х п X \, схождащи се към последователността на изображения по е събират А. Необходимост. Нека Лим е (х) = А. Както е определено ограничение U A U а. X X ∩ U на е (х) U A. Ако последователността на точки в X \ тенденция към съществува редица N такова, че х п U а с п> N. Следователно, е (х п) U А когато п> N. Въз основа на границата на определяне на последователност в R, Ние се заключи, че Лим е (х п) = А. Достатъчност. Да предположим, че за всяка поредица от точки на набор X \, което се доближава до, последователността на изображения има тенденция да А. За определеност приемем, че Р. Predpo- допуснем, че не е на границата на F на функция в точка а. Тогава там квартал U А точка А, че за всяко п N п в -vicinity точка на съществува елемент х п X \, за които това е (х п) / U А. Ясно е, че Лим х п = а и е (х п) 6 → А, докато х п X \, п N, X п → а. Това противоречие завършва доказателството. Cledstvie. Ако има последователност. х п X \, п N, х п → последователност и няма ограничение, не е2.2.2 Определяне граница на функция
Свързани статии