Най-метричен тензор, Риман пространство.

Експресия се срещат в (5.49), преходът от една система към друга се превръща тензор

С други думи, по-симетричен covariant тензор от ранг. Той нарече метричен тензор.

Има "пространства, в които е невъзможно да се въведе декартова координатна система. С едно измерение "пространства" от този тип е на повърхността на една сфера Ако координатите въведете географска ширина и дължина, разстоянието между два безкрайно близки точки на повърхността на сферата се изрази по следния начин чрез координиране на диференциали .:

За да се даде възможност на такъв постоянен разнообразие по отношение на въпроса в процес на обсъждане, помислете пространството с метричен тензор, а не жилище по въпроса за възможността за въвеждане в тях декартова координатна система. Образование, където множеството "квадратен диференциална дължина" т. Е. Инвариантна хомогенна квадратна функция на координатните разлики, наречени метрично пространство или Риман пространство ". Ако е възможно Риман пространство да влезе в координатна система, в която метричен тензор във всяка точка е равна на тази координатна система е декартово и евклидово пространство се нарича.

Ако безкрайно разстояние определя от отношението

и непроменящо се, че е covariant тензор. Предишната ни доказателство се основава на предположението, че един израз, с други думи, ние приехме възможността за въвеждане на декартова координатна система. С цел да се покаже, че свойствата на трансформация не зависят от това предположение, нека разгледаме по следната формула:

изразява инвариантност Подмяна останали, получаваме:

С оглед на произвола да приравняваме коефициентите от двете страни на равенството, показвайки по този начин валидността на (5.60).

Ако компонент определящ фактор не е нула, ние можем да се въведе нов набор от ценности съгласно зависимостите

За да получите тяхната преработка имоти, първо конвертирате. Заменете ги с израз

допълнително умножи тази връзка нататък. От (5.59) от дясната страна се отнася до лявата страна получаваме:

Сравнявайки (5.66) и (5.64) дава

т. е. те са компонентите на contravariant тензор. Това тензор е симетрична. Това може да бъде показано чрез умножаване (5,64) на. След това от лявата страна ще бъде равна на

докато от дясната страна има тенденция да се

т. е., ние виждаме, че

и сравняване на това с (5.64), ние откриваме

Тензор нарича contravariant метричен тензор. Нейните стойности, както е видно от (5.64) са разделени от малолетни и непълнолетни лица на детерминанти

В декартова координатна система е равна на