Процесът на формиране на математически модел за числено интегриране algebraization задължително включва етап, който се състои в превръщането на обикновени диференциални алгебрични уравнения. Тя се основава на използване на един от методите за числено интегриране.
Ако зададете диференциално уравнение
и начални условия, следващата стойност могат да бъдат получени чрез интегриране (3.1):
Определен интеграл в (3.2) е числено равно на площта под кривата в интервала (фиг. 3.2).
Приблизително, тази област може да се изчисли, тъй като площта на правоъгълник, чиято височина е равна на стойността на функцията на лявата граница интервал или стойността на десния граница на интервала. Очевидно е, че областта на двата правоъгълници са ограничени горе сегменти 1 и 2 на фиг. 3.3 ще бъде най-близо до точната стойност на интеграл, по-ниско стъпало на интеграционния.
Заместването в (3.2) приблизителната стойност на интеграл може да се получи две формули:
Експресия (3.3) е формула изрично метод Ойлер. Тя се отнася до метода изрично, тъй като неизвестен стойност могат да бъдат директно изчислява от известна стойност на предходната точка.
Формула (3.4) съответства на имплицитно метод Ойлер. Тук, в дясната част на израза, използван от неизвестен стойност. така да го изчисли директно от тази формула не мога.
По-точна стойност на неразделна (3.2) осигурява метод за трапеци, което съответства на етап 3 на Фиг. 3.3. след това
Тази формула очевидно се отнася и за имплицитното.
За изрични методи процедурата за формиране на модели за числено интегриране е ограничено algebraization първоначалните диференциални уравнения. По-специално, уравнение (3.3) не изисква допълнителна промяна и е готов за употреба.
За косвени методи по-нататъшни действия зависят от това, което метод за решаване на системи нелинейни уравнения, изпълнявани в този пакет. Една от възможностите е да се използва итеративен метод на Нютон, за който е известно, има най-висок процент на конвергенция между практически се използват методи, и където системата е многократно решен линеаризирани алгебрични уравнения.
В този случай, той е изпълнение на втория етап от подготовката на математически модели за косвени методи, които е линеаризация на нелинейни алгебрични уравнения, т.е. в разширяването на нелинейни функции в Taylor серия и запазва само в резултат на линейни условия.
Нека нелинейни алгебрични уравнения
където - вектора на променливи.
Разширяването (3.6) в поредица Тейлър се запазва само линейни условия дава приблизителна замяна
където е първоначалната подход, за която са взети стойностите на променливите в предишната стъпка на интеграцията;
- непознатата стойността на променливата в етапа на интеграция.
Експресия (3.7) могат да бъдат написани като линеен алгебрични уравнение
където - е изчислена за известни стойности на променливите в предишната стъпка на интеграцията;
По този начин, като цяло, нелинейни системи за числени методи симулация се подразбира в образуването и резолюцията на всеки етап от системата за интеграция на линейни алгебрични уравнения
компонент и който включва топологична уравнение симулира верига. В същото време, процедури algebraization линеаризация засяга само компонент на уравнението, тъй като топологични алгебрични уравнение винаги линейна.
Да разгледаме пример, свързани с подготовката на модел за цифровата разтвор на нелинейна втори ред диференциално уравнение
Първата стъпка е да се намали това уравнение на проблема Коши, т.е. на система от уравнения първите поръчки чрез въвеждане на нова променлива:
Изрично формули имат формата на метод на Ойлер
Скритият формула може да се запише по следния начин:
За да преминете към нотация матрица ще извърши серия от трансформации:
Матрицата нотация има формата
Формула (3.7), най-общо казано, трябва да се прилага итеративно. Решението на това уравнение е намерена за определен първоначален приближение. Тя трябва да се използва като следващото сближаване в (3.7) и се повтаря формиране и разтвор на линейни уравнения, докато две последователни приближения няма да бъде в близост до дадена точност. В цифровата симулация можете да използвате само една итерация, избора на достатъчно малка стъпка интеграция и на факта, че стойностите на променливите в предишната стъпка е добро приближение.
3.2.3. Изборът между явните и скрити методи
в процедурите за технически системи за симулация
Изборът между явните и скрити методи е сериозен проблем. Много експерти смятат, косвени методи са по-мощен и гъвкав инструмент за технически проблеми за системна симулация [23, 15]. Все пак трябва да се отбележи, че едва наскоро се появи доста мощен и гъвкав компютърно моделиране, като, например, MATLAB или Бауман [17], което позволява избор на скрита или явна метод за решаване на проблема. Преди това ние използвахме изричен или мълчалив методи, тъй като то изисква различни модели на отделните компоненти.
модерни изглеждащи автоматизирани системи за моделиране, подходящи за симулация на технически системи се прилагат, като правило, косвени методи числено интегриране. Косвените методи са по-подходящи за решаване на системи диференциални уравнения и алгебрични, освен че са по-стабилни. В резултат на това, въпреки високата цена на компютърно време на всеки етап от интеграцията, свързани с необходимостта от решаване на линейната, общата цена може да бъде значително по-малко в резултат на увеличението на етапа на интеграция и намаляване на общия брой стъпки.
Ние считаме, тази характеристика косвени методи за примера на изрично и имплицитно метод Ойлер [21], определени от формули (3.3) и (3.4), съответно.
Ние прилагаме определената формула за числено интегриране на най-простият линеен диференциално уравнение
Характерните уравнението на динамична система има формата
където - система за постоянна време.
Единична система полюс е в лявата полуравнина, следователно, оригиналната система е стабилна. Съответно, всяко решение, при. Тя клони към нула.
Уравнението за разлика съответстваща на числено решаване на изрично метода на Ойлер се изписва като
Известно е, че условието за стабилност се получава чрез уравнението на разлика
Това означава, че изборът може качествено да променят формата на решение, което прави постоянен процес нестабилна.
По този начин, стъпка на интегриране е наложено ограничение очевидно - тя не може да бъде повече от постоянна система за време, в противен случай дискретна приближение стават нестабилни. Ако системата има редица редовното време, това ограничение се отнася етапа на интеграция с най-малкия време константа.
Преходът към методите на по-висш порядък има малък ефект върху картината. За Runge - изискването за четвъртия Kutta на стабилност ограничава стойността на стъпка. или, в по-общ вид. където - максимално собствените стойности на матрицата Jacobi [29].
Използването на имплицитна метод на Ойлер за една и съща система дава
където ограничението на крачка размер изглежда по различен начин:
която ви позволява да изберете всякакъв размер стъпка, като се фокусира само върху необходимото ниво на грешка.
Свързани статии