Определение и свойства на матрицата експоненциална

Ние считаме, квадратна матрица \ (A \) размер \ (N \ пъти п \) елементи, които могат да бъдат както реални и комплексни числа. Тъй като матрица \ (А \) е квадратна, тогава е решена операция степенуване, т.е. ние може да се изчисли матрица \ [= I, \; \; = А,> \; \; = A \ cdot А,> \; \; = \ Cdot А, \; \ Ldots,> \; = \ Underbrace _ \ текст,> \], където от \ (I \) означава идентичност на матрицата за \ (п. \)

Матрицата композира безкрайна мощност серия \ [I + \ Frac> A + \ Frac >>> + \ Frac >>> + \ cdots + \ Frac >>> + \ cdots \] Количеството на безкрайната поредица е матрицата експоненциална и означен като \ (>: \) \ [> = \ сума \ граници _ ^ \ infty >>>> \.] Тази серия е абсолютно конвергентна.

В ограничаване случая, където матрицата се състои от един брой \ (а, \) т.е. е с размер на \ (1 \ 1 пъти \) по-горе формула се превръща по познат формула за разширяване на експоненциална функция \ (> \) Maclaurin. \ [> = 1 + в + \ Frac >>> + \ Frac >>> + \ cdots> = ^ \ infty >>>>> \.] Матрицата изложител има следните основни характеристики:

Ако \ (А \) - нулева матрица, тогава \ (> = = I; \)

Ако \ (А = I \) (\ (I \) - идентичност матрица), след това \ (> = I; \)

Ако \ (А \) има обратна матрица \ на (> \) след \ (> = I; \)

\ (>> = \ вдясно) A >> \), където \ (т, п \) - произволни реални или комплексни числа;

Производното е дадено от матрицата експоненциална \ [\ Frac> \ наляво (>> \ дясно) = A>. \]

Нека \ (Н \) - не-дегенеративен линейна трансформация. Ако \ (А = HM> \) е \ (> = Н >>. \)

Използването на матрични експоненциални решения за хомогенни линейни системи с постоянни коефициенти

Matrix експоненциална може успешно да се използва за решаване на системи за диференциални уравнения. Разглеждане на система от линейни хомогенни уравнения, които под формата на матрица могат да бъдат написани като \ [\ mathbf '\ наляво (т \ дясно) = A \ mathbf \ наляво (т \ дясно). \] Общата разтвор на тази система е представена от матрица експоненциално като \ [\ mathbf \ наляво (т \ дясно) => \ mathbf \], където \ (\ mathbf = ,, \ ldots,> \ дясно) ^ T> \) - произволна \ (п \) - двумерен вектор. Символ \ (^ Т \) представлява операцията за транспониране. В тази формула, ние не може да пише на вектор \ (\ mathbf \) пред матрица експоненциално, тъй като продуктът на матрици \ (\ mathop> \ limits_ \ прав]> \ mathop >> \ limits_ \ прав]> \) не е определена.

За проблема с началните условия (Коши проблем) компонентите на вектор \ (\ mathbf \), изразена по отношение на първоначалните условия. В този случай, на хомогенен разтвор на системата се изписва като \ [\ mathbf \ наляво (т \ дясно) => _ 0>, \; \; \ текст \; \. _ 0> = \ mathbf \ наляво (> \ дясно) \] Така, разтворът на хомогенна система от уравнения стане известно, ако съответната изчислява матрица експоненциално. За да го изчисли, можете да използвате безкрайната поредица, която се съдържа в дефиницията на матрицата експоненциално. Често, обаче, тя позволява да се намери матрицата експоненциална само приблизително. Може да се използва за решаване на проблема, като алгебрични метод, базиран на последната имота изброени по-горе. Помислете за този метод и общия ход на решения по-подробно.

Алгоритъм за решаването на системата от уравнения от матрицата експоненциална

Първо, намери собствените стойности \ (\) на матрицата (линеен оператор) \ (А; \)

И изчисли собствените си (в случая на множество собствени стойности), свързани вектори;

От получените собствените вектори и съответните вектори образуват не-единствено матрица на линейна трансформация \ (Н. \) изчисляване на съответния обратен матрица \ (> \);

Намери Jordan нормална formuJ за дадена матрица \ (А, \) като се използва формула \ [J => AH \.] Забележка: В процеса на намиране на собствените стойности и съответните вектори често става ясно Jordan структура на всяка клетка. Това позволява пиша веднъж Йордания форма без изчисляване на горната формула.

Знаейки Jordan форма \ (J \) costavlyaet матрица \ (>. \) Съответните формули за това превръщане се извеждат от определението на матрицата експоненциално. За някои прости форми Jordan матрица \ (> \) има формата, показана в таблицата: