Функции $ y_1 (х), \; y_2 (х), \; y_3 (х), \ ldots, y_n (х) $ са наречени линейно зависими от набор $ T $, ако има $ \ Alpha_1 съществуват константи, \; \ alpha_2, \; \ alpha_3 \ ldots \ alpha_n $, че $ \ forall х \ в T $ следното равенство притежава:

$$ (1) \ \ \ \ \ Alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ ldots + \ alpha_n \ cdot y_n = 0 $$

Забележка за терминология: шоу \ скрий

Състояние (2) могат да бъдат обобщени в тази формулировка: между коефициентите $ \ $ alpha_i има поне един не-нула.

Лесно е да се провери съответствието на формулировките. Равенство $ \ алфа _ ^ + \ алфа _ ^ + \ ldots + \ алфа _ ^ = 0 $ е възможно, ако и само ако $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = \ ldots = \ alpha_n = 0 $. Ако $ \ сума _ ^ \ алфа _ ^ \ НЕК 0 $, $ на равенство \ Alpha_1 = \ alpha_2 = \ ldots = \ alpha_n = 0 $ не е изпълнено, т.е. най-малко един от коефициентите $ \ $ alpha_i различна от нула.

Ако уравнение (1) е възможно само ако:

функция $ y_1 на (х), \; y_2 (х), \; y_3 (х), \ ldots, y_n (х) $ се нарича линейно независими на набор от $ T $. В действителност, (3) е еквивалентно на следното: всички коефициенти $ \ $ alpha_i нула.

За две функции могат лесно да се извлече просто правило: ако $ \ forall х \ в T $ $ \ Frac \ НЕК конст $ на интервал $ Т = (а, б) $, след това функциите $ y_1 (х) $ и $ y_2 (х ) $ са линейно независими на $ T $. Ако $ \ forall х \ в T $ $ \ Frac = конст $ от $ T $, функцията $ y_1 (х) $ и $ y_2 (х) $ са линейно зависими от $ T $ на.

Основната причина за това правило: шоу \ кожата

Да приемем, че $ \ Frac \ НЕК конст $ от $ T $, но функция $ y_1 (х) $ и $ y_2 (х) $ са линейно зависими. Ако функциите са линейно зависими, тогава съществуват константи $ \ Alpha_1 $ и $ \ $ alpha_2, а не нула в същото време, че равенството: $ \ Alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = 0 $. Да предположим, например, $ \ Alpha_1 \ НЕК 0 $. След това, като се вземе предвид $ y_2 (х) \ НЕК 0 $ за $ T $, ние получаваме: $ \ Фрак = - \ Фрак = конст $, което противоречи на предположението $ \ Фрак \ НЕК Конст $.

Ако $ \ Frac = конст $, след $ y_1 (х) -С \ cdot y_2 (х) = 0 $ $ на Т $, т.е. $ \ Alpha_1 = 1; \; \ alpha_2 = -С $. Така $ \ алфа _ ^ + \ алфа _ ^ = 1 + С ^ 2 \ НЕК $ 0, т.е. Функция $ y_1 (х) $ и $ y_2 (х) $ са линейно зависими от $ T $ на.

Всички примери, посочени в този въпрос, ще се основава на определянето и свойствата, посочени по-горе. Разбира се, в най-общия случай, прилагането на тези определения малко трудно. Има няколко критерия, които опростяват процеса на проверка на функциите на линейна зависимост. Сайтът разглежда следните два начина: с помощта на Wronskian и грам определящ фактор.

Виж дали функция $ y_1 на (х) = х ^ 2 + 2x-4; \; y_2 (х) = - 4x ^ 2 + 7х-1; \; y_3 (х) = - 5 х ^ 2 + 20x-14 $ линейно зависим или линейно независими набор от $ R $.

Помислете линейна комбинация от тези функции е: $ \ Alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 $. Ако $ \ forall х \ от R $ ​​$ равенството \ Alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ се извършва само ако $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = 0 $ след функциите са линейно независими , Ако $ \ forall х \ в R $ $ равенство \ Alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ възможно при условие, че поне един от коефициентите $ \ alpha_i $ не е равно на нула, тогава функцията линейно зависими.

Ние замени израз $ \ Alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ са дадени функции:

Нека отворим скобите и пренареждане на условията:

$$ \ Alpha_1 \ cdot х ^ 2 + 2 \ Alpha_1 \ cdot х-4 \ alpha_1-4 \ alpha_2 \ cdot х ^ 2 + 7 \ alpha_2 \ cdot Х- \ alpha_2-5 \ alpha_3 \ cdot х ^ 2 + 20 \ alpha_3 \ cdot х 14 \ alpha_3 = 0; $$ $$ (\ alpha_1-4 \ alpha_2-5 \ alpha_3) \ cdot х ^ 2 + (2 \ Alpha_1 + 7 \ alpha_2 + 20 \ alpha_3) \ cdot х + (- 4 \ alpha_1- \ alpha_2-14 \ alpha_3 ) = 0. $$

Последното равенство е възможно само в случай, че коефициентите на правомощията на променливата $ х $ едновременно равни на нула, т.е.

$$ \ ляво \ \ alpha_1-4 \ alpha_2-5 \ alpha_3 = 0; 2 \\ \ Alpha_1 + 7 \ alpha_2 + 20 \ alpha_3 = 0; \\ -4 \ alpha_1- \ alpha_2-14 \ alpha_3 = 0. \ Край \ прав. $$

Имаме хомогенен система линейни уравнения. Ние не се нуждаем в решението си, само трябва да зададете броя на решенията. Ако решението е само едно - нула (или, с други думи, тривиално), т.е. $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = 0 $, след това функциите са линейно независими. Ако има други решения, различни от нула, тогава функциите са линейно зависими. Намираме ранга на матрична система $ A = \ ляв (\ започне 1 -4 -5 \\ 2 7 \\ 20 -4 -1 -14 \ край \ вдясно) $ и рангът на разширената матрица на системата: $ \ Тилда = \ ляво (\ започне 1 -4 -5 0 2 \\ 7 20 \\ 0 -4 -1 -14 0 \ край \ вдясно) $, а след това се прилага теоремата на Кронекер-Капели.

Така че, $ звънна \ тилда = звъняха A = 2 <3$, т.е. система имеет бесконечное количество решений. Следовательно, функции $y_1;\;y_2;\;y_3$ линейно зависимы. При желании можно отыскать один из этого бесконечного множества наборов $\alpha_1; \; \alpha_2\; \alpha_3$, в котором хотя бы один элемент не равен нулю. Продолжим решение системы уравнений, вычеркнув нулевую строку и перенеся третий столбец (он соответствует переменной $\alpha_3$) за черту:

Следователно, ние се получи разтвор: $ \ ляво \<\begin&\alpha_1=-3\alpha_3;\\&\alpha_2=-2\alpha_3;\\&\alpha_3=\alpha_3;\;\alpha_3 \in R \end \right.$ Например, подставив $\alpha_3=-1$, получим: $\alpha_1=3;\; \alpha_2=2$. Несложно убедиться непосредственной проверкой, что равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ при найденных коэффициентах будет выполнено $\forall x\in R$:

$$ 3 \ cdot y_1 + 2 \ cdot y_2-y_3 = 3 \ cdot (х ^ 2 + 2 х-4) 2 \ cdot (-4x ^ 2 + 7х-1) - (- 5 х ^ 2 + 20x-14 ) = 0. $$

Така, съществуват константи $ \ Alpha_1; \; \ alpha_2; \; \ alpha_3 $ (например, $ \ Alpha_1 = 3; \; \ alpha_2 = 2; \; \ alpha_3 = -1 $), не всички едновременно нула че $ R $ отговаря на идентичност $ \ Alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 \ екв 0 $. Следователно, функциите са линейно зависими.

Тест за линейна връзка такива функции: $ y_1 (х) = х \ LN (х + 4); \; y_2 (х) = \ LN ^ 2 (х + 4) $.

Изследвания се провеждат в диапазона от $ T = (- 4 + \ infty) $, което е домейн на предварително определени функции. Прилагането на правилото за определяне на линейна зависимост на две функции, определени в началото на страницата. Тъй като за $ х \ в (-4 + \ infty) $ имаме: $ \ Frac = \ Frac \ НЕК конст $, след това тези функции са линейно независими в $ T = (- 4 + \ infty) $.

Тест за линейната зависимост на функцията: $ y_1 (х) = 1; \; y_2 (х) = х; \; y_3 (х) = х ^ 2; \; y_4 (х) = х ^ 3; \; y_5 (х) = х ^ 4 $.

Домейнът на определение на тези функции е цялата реална линия, т.е. $ X \ в R $. Помислете уравнението:

$$ (4) \ \ \ \ \ Alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot х + \ alpha_3 \ cdot х ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot х ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot х ^ 4 = $ 0 $

Ако уравнение (4) за всички $ х \ от R $ ​​е възможно само ако $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = $ 0, предварително определена функция са линейно независими. Ако уравнението (4) $ \ forall х \ от R $ ​​се извършва на набор от константи $ \ Alpha_1 $, $ \ alpha_2 $, $ \ alpha_3 $, $ \ alpha_4 $, $ \ alpha_5 $, сред които най-малко един е различен от нула, дадени функции са линейно зависими. Така че, трябва да се изследва уравнението (4).

От лявата страна на уравнението (4) е полином, поръчката (или, с други думи, степента), от които не надвишава $ 4 $. Например, ако $ \ Alpha_1 = 2; \; \ Alpha_2 = 0; \; \ alpha_3 = 0; \; \ alpha_4 = 7; \; \ alpha_5 = 0 $, които получаваме полином на третия ред: $ \ Alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot х + \ alpha_3 \ cdot х ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot х ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot х ^ 4 = 7x ^ 3 + 2 $. Т.е. от лявата страна на уравнението (4) може да бъде полином от четвърта, трета, втора, първо и нулев ред.

Да разгледаме случая, когато от лявата страна на уравнението (4) е полином чиято цел не е нула (между константите $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ поне една различна от нула). Всяко полином от първи ред може да се отнася до нула само в една точка (т.е., има само една стойност на $ х $, където първият полином за е равна на нула). Втори ред полином е равна на нула не повече от две точки; полином от трети ред - не повече от три точки; Четвъртият полином, за не повече от четири точки изчезва. Т.е. ако между константи $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ има поне един различен от нула, тогава уравнението (4) може да се направи повече от четирите стойности на $ х $ ( но не и за всички $ х \ в R $).

Представете си ситуация, когато някои от константи $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ никой различна от нула, т.е. $ \ Alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $. В този случай, от лявата страна на уравнение (4) води до получаване на полином от цел нула $ \ Alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot х + \ alpha_3 \ cdot х ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot х ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot х ^ 4 = \ Alpha_1 $. Самостоятелно равенства (4) ще се превърнат: $ \ Alpha_1 = 0 $. Следователно полином от нулев порядък за равенство (4) е възможно само ако $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $.

Да обобщим: ако дясната ръка на уравнение (4) има полином от различна от нула, а след това (4) Не могат да бъдат удовлетворени за всички $ х \ в R $. Уравнение (4) може да бъде изпълнено за всички $ х \ от R $ ​​само когато е налице полином нулев порядък от дясната страна, обаче, това означава $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $. От уравнение (4) е изпълнено за всички $ х \ от R $ ​​само при условие $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = $ 0, тогава посочените функции са линейно независими в $ R $.

Изследват за линейна зависимост на функцията: $ y_1 (х) = 4; \; y_2 (х) = \ arcsin х; \; y_3 (х) = \ ARccOS х $ $ на интервала [- 1 1] $.

Тъй $ \ arcsin х + \ ARccOS х = \ Frac \; \ Forall х \ в [1; 1] $ тогава:

$$ \ arcsin х + \ ARccOS х = \ Frac \ cdot4; \; \ Arcsin х + \ ARccOS Х- \ Frac \ cdot4 = 0; \; 1 \ cdot y_1 + 1 \ cdot y_2 + \ оставя (- \ Frac \ дясно) \ cdot y_3 = 0 $$

По този начин, съществува набор от константи $ \ Alpha_1; \; \ Alpha_2; \; \ Alpha_3 $ (например, $ \ Alpha_1 = 1; \; \ alpha_2 = 1; \; \ alpha_3 = - \ $ Frac), между които има най-малко един постоянен, различна от нула, че $ на равенство \ Alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ ще бъдат изпълнени за всички $ х \ в [1; 1] $. Това означава, че функциите $ y_1 (х) = 4; \; y_2 (х) = \ arcsin х; \; y_3 (х) = \ ARccOS х $ линейно зависими от интервал $ [- 1; 1] $.

Изследват за линейна зависимост на функцията: $ y_1 (х) = х; \; y_2 (х) = | х | $ в тяхната област.

Домейн посочено функции разполагат с набор от реални числа, т.е. $ X \ в R $. Функция ще зависи линейно, ако съществува набор от константи $ \ Alpha_1 $ и $ \ $ alpha_2, че за всички стойности на $ х \ в R $, $ на равенство \ Alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = $ 0 (т.е. . $ \ Alpha_1 \ cdot х + \ alpha_2 \ cdot | х | = 0 $), и най-малко един коефициент ($ \ Alpha_1 $ или $ \ alpha_2 $) не е нула. Ако $ за равенство \ Alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = 0 $ за $ \ forall х \ в R $ е възможно само ако $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $, дадените функции са линейно независими. Помислете за $ равенство \ Alpha_1 \ cdot х + \ alpha_2 \ cdot | х | = 0 $ повече.

Ако $ x≥ 0 $, тогава $ | х | = х $, така че $ на равенство \ Alpha_1 \ cdot х + \ alpha_2 \ cdot | х | = 0 $ ще станат: $ \ Alpha_1 \ cdot х + \ alpha_2 \ cdot х = 0 $, $ х \ cdot (\ Alpha_1 + \ alpha_2) = 0 $. Равенството $ х \ cdot (\ Alpha_1 + \ alpha_2) = 0 $ трябва да се увери за всички $ 0 $ x≥, така че $ \ Alpha_1 + \ alpha_2 = 0 $.

Ако $ х <0$, то $|x|=-x$, поэтому равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ станет таким: $\alpha_1\cdot x-\alpha_2\cdot x=0$, $x\cdot(\alpha_1-\alpha_2)=0$. Равенство $x\cdot(\alpha_1-\alpha_2)=0$ должно быть выполнено при всех значениях $x <0$, поэтому $\alpha_1-\alpha_2=0$.

Така че $ на равенство \ Alpha_1 \ cdot х + \ alpha_2 \ cdot | х | = 0 $ е вярно за всички $ х \ в R $, изисква две условия:

Получената система има само незначителен (нула) разтвор: $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $. По този начин, $ на равенство \ Alpha_1 \ cdot х + \ alpha_2 \ cdot | х | = 0 $ за $ \ forall х \ в R $ е възможно само в случай на $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $, така че функциите са линейно независими от R.

Проучване на линейната зависимост използване Wronskians и грам, определени в допълнителни теми от сайта.