1. Понятието функция вълна
Съгласно хипотезата на де Broglie свободното движение на всяка частица може да бъде свързана с плоска вълна
при което - радиус вектор от произволна точка в пространството; t-време. Честотата на вълната # 969; и вълна вектор свързани с енергия и инерцията на частиците от същите съотношения, за светлина кванти от:
където - константа на Планк.
Заместването # 969; и (2) (1), ние получаваме израз за де Broglie дължина на вълната на свободна частиците:
От друга страна, атомизъм частици е, че той работи винаги като цяло число. Следователно, частиците не може да бъде образуването на де Бройл вълни.
Квантовата механика се базира на статистическата интерпретация на де Бройл вълни. според която
интензивността на де Бройл вълни във всяка точка е пропорционално на вероятността за намиране на частицата на това място пространство.
Състояние на квантовата система се описва с функция вълна # 968;. което обикновено е сложна функция от радиус-вектора и Т времето. ,
Физическа функция smyslvolnovoy е, че
вероятността за намиране на частиците по време, в рамките на обхвата, определен от формулата:
където / е в декартови координати /.
Тъй като наличието на частицата в пространството - определен случай, трябва да се извършва съотношението
където - обемът на цялото пространство.
Експресия (5) е състояние нормализиране. Ако на интеграл от сходни, а след това на вълновата функция винаги могат да бъдат нормализирани чрез подходящ избор на постоянен коефициент на # 968;.
От (5) става ясно, че нормализира функцията # 968; определя до фактор, която е равна на единица, т.е.. е. в рамките на фактор, където # 945; - реална, постоянна. Тази неяснота не засяга физическите резултати, тъй като всички физически количества математически дефинирана от изразите, които съдържат продукт # 968; комплекс функцията конюгат # 968; * Naprimer- (4).
Следната клауза, основните квантовата механика е принципа на суперпозиция. който гласи, както следва:
Ако квантов система може да бъде в условия, които са описани wavefunctions # 968; 1 и # 968; 2. тя може да бъде в състоянията, описани от произволна линейна комбинация от тези функции:
където С 1. С 2 - всички, които не зависят от времето на комплексни числа.
От принципа на суперпозиция от това следва, че уравнение, описващо промяната в вълновата функция в пространството и времето трябва да бъде линейна с уважение.
2. Операторите на физични величини
Като цяло, операторът се отнася до правилото, че всяка от разглеждания клас функции U () е свързан с различна функция - V (). Това правило е написано символично като се умножи U () на.
Съгласно може да се подразбира, например, умножение диференциация на координати, екстрахиране на корените и м. P.
От всички възможни оператори за образа на физичните величини в квантовата механика, като използвате само класа на така наречените линейни самостоятелно долепени оператори, тъй като само те могат да се срещнат на физичните величини.
Оператор. Тя се нарича линейна, ако има следните имоти:
където U1, U2 - произволни функции; С1. С2 - произволни константи.
Необходимостта от този имот следва пряко от принципа на суперпозиция; прилагането на оператор не е в нарушение на този принцип.
Operatornazyvaetsya самостоятелно долепени. или ако Hermitian
където интеграла е взето по цялата площ на евентуална промяна.
Въведената стойност от оператора в квантовата механика е, че всички връзки между физичните величини могат да бъдат изразени в оператори език.
оператори Обобщение ideyaprimeneniya е, че с всяка физична величина / динамична променлива / се сравнява в квантовата механика, показваща неговата линейна / на принципа на суперпозиция и / долепени / стойности, за да бъдат реално / оператор.
Комуникацията между операторите и измерените динамични променливи се задава с помощта на израз за средната стойност. описан от функция на вълната:
От Hermitian оператор, този израз може да се запише по различен начин:
С помощта на правилото (10), ние пишете израза за отклонението от средната стойност в това състояние и да влезе в съответния Hermitian оператора:
Сега можем да пишете израза за стандартното отклонение:
които, като се използва операторът самостоятелно долепени даваме на формата
С това съотношение се изчислява стандартно отклонение на физическото количество в произволно състояние.
За такова състояние, в което определена стойност, се равнява на дясната страна на експресията (л 4) до нула:
Тъй като подинтегрален е положително число, от (15).
Модул комплексно число е нула, само когато самият брой е равен на нула:
Като се има предвид определението на оператора (12) и че има специфично значение в това състояние, ние най-накрая се намери, или (16)
От - оператор, съответстваща физическа величина. след това (16) е линейно уравнение за функциите на вълната на състоянието, в което е разположен тази стойност.
В квантовата механика, операторът често диференциал. т. е. включва операция диференциация. В този случай, (16) - хомогенна линейна диференциално уравнение.
Като цяло, това уравнение има nontrivial / т. д. ненулева / разтвор само при някои специфични стойности на Е, които са параметрите (16). Тези стойности на параметрите се наричат собствени стойности на оператора. Съответните разтвори (16) са eigenfunctions на оператора.
Parametryn. наброяващи собствени стойности и eigenfunctions се наричат квантови числа.
Комплект собствени стойности се нарича спектър.
Ако операторът има отделни собствени стойности, такъв спектър се нарича дискретно. В този случай ние казваме, че стойността е квантовани стойности.
Ако собствените стойности преминават през непрекъснат диапазон от стойности, набор от ценности, се нарича постоянен.
Има състояние на физическата система, която описва различните eigenfunctions на един оператор, но съответства на същия собствена стойност. Такива системи се наричат изродени състояние. и броят на независимите eigenfunctions съответстващи на една и съща стойност на оператора, - недостиг на дегенерация.
Така че, ние установихме, че
в състояние, описано от частен оператор. физична величина има стойност, равна на собствените стойности на този оператор.
Това е физическото тълкуване на математически формализма на квантовата механика.
Изричното формата на някои от операторите не са релативистични квантовата механика е, дадени в таблицата.
3. Свойства на функциите на операторите
Eigenfunction на квантовата механика има следните общи свойства.
1. Ако операторът има дискретен спектър на собствени стойности, собствените стойности на този оператор отговарят на уравнението
Уравнение е комплекс конюгат (18) за квантовата номер м.
Умножение (18) и (19) в ляво и, съответно, интегриране в региона на пространството и се изважда вторият от първия. Резултатът е
От това следва,
Когато п м - ортогоналността на eigenfunctions, съответстващи на различните собствени стойности на оператора.
Физическият смисъл на ортогоналността на функциите е, че
при измерването на физична величина със стойността на надеждност, получена в състоянието и - в държавата.
Освен това, в съответствие с (15) на дискретни спектър на функции могат винаги да се нормализира до единство:
Уравнения (20) и (21) могат да бъдат комбинирани:
където символът на Кронекер се определя, както следва:
Набор от функции, които отговарят на условието (22). се нарича система от ортонормирани функции, т.е.. д. ортогонална и нормализира.
2. Вторият имот на eigenfunctions на операторите е, че тяхната комбинация представлява пълен набор от функции. Това означава, че
Всяка функция е определено в рамките на един и същи домейн от променливите, които притежават функции могат да бъдат представени като поредица от
където сумирането е над всички стойности на квантовата chislan.
За да намерите коефициенти на разширение, умножение (24) в ляво и да се интегрират по цялото пространство:
Промяна индекси м п. ние получаваме израз за коефициентите:
Ние се размножават (24) от комплекс конюгат експресия
и да се интегрират по цялото пространство:
Уравнение (27), - критерият, че системата функционира-среда нормализирани към единство. По този начин, в съответствие с (4)
вероятност става състояние във физическия количество с равен коефициент на стойност четири-Ratu в модула за разширение (24), т. е. в определена интензивност, която eigenstate представяния, но в състояние.
Базисното уравнение на квантовата механика - уравнението на Шрьодингер, който определя промяната в вълновата функция, т.е., състоянието на системата в пространството и времето ..
къде - на Hamiltonian система; аз - имагинерна единица.
Това уравнение - основно уравнение на динамиката в квантовата механика-ке, защото ви позволява да намерите функциите на вълните по всяко време на време, ако знаете, под формата на оператора и първоначалните условия.
В Хамилтонов / отсъствие на магнитно поле / на формата (17) на уравнението на Шрьодингер (28) може да се запише изрично:
В случай на стационара, т.е.. Е. Не променливи във времето, външно поле Hamiltonian Той е независим от време. В този случай (29), променливи могат да се разделят на:
Заместването разтвори във формата (30) в (29) и сочещ постоянна деление намери Е.
Следователно, следващите две уравнения за Т и
Първото уравнение се решава наведнъж :. втори е уравнението за eigenfunctions на Hamiltonian. Така, ако системата има отделен енергиен спектър, на разтвор-комплект (30) има формата
т. е. хармонично с време-зависимо честота.
където - собствените стойности на Hamiltonian.
Функциите на вълната са разтвори на уравнението (32) съответстват на състоянията на системата, в която се определя енергията, стойностите на. Такива състояния се наричат стационарни система. и (32) т.нар стационарен уравнението на Шрьодингер.
Стационарни нива на енергия са номерирани, обикновено в порядъка на техните абсолютни стойности.
Болница-държава с най-малката от всички възможни стойности на енергията се нарича etsya голям.
Функциите на вълната са разтвори на Шрьодингер уравнение (29) трябва да имат следните свойства:
1. Функциите на вълната трябва да бъдат недвусмислени, постоянно и ограничени в целия регион на пространството. Тези изисквания трябва да бъдат изпълнени, когато потенциалната U има площ разкъсване. Необходимостта недвусмислено и крайник-ност на вълновата функция е съвсем очевидно от нея лица с един смисъл / см. (4) и (5) /: вероятността за местоположението-частиците трябва да бъде на крайната стойност и недвусмислена. В допълнение, тъй като функцията на вълната е разтворът на диференциални уравнения на формата (29), тя трябва да бъде неразделна и имат недвусмислено, непрекъснат и ограничен първо производно.
2. Ако има област на пространството, където. След това те са навсякъде. Частици, очевидно не може да бъде в рамките на по-домейни. Приемствеността изисква границата на този регион. Извлича се от на границата може да има прекъсване.
Свързани статии