Ние започваме да се разгледа самия процес на изчисляване двойни интеграли и запознаване с геометричния му значение.

Двойният интеграл е числено равна на площта на самолета фигура (интеграция зона). Това е най-простата форма на двоен интеграл като функция на две променливи е равен на една :.

Първо, ние ще обсъдим въпроса по общ начин. Сега много от вас ще бъдете изненадани колко много го много лесно! Изчисляваме областта на самолета фигура. Ограничени линии. За определеност приемем, че интервал. Площта на фигурата е числено равна на:

Ние представляваме района на чертежа:

Ние избираме най-добрият начин да се заобиколят района:

И след като важна техническа среща: повторни интеграли могат да бъдат разглеждани отделно. Първо вътрешно неделима, а след това - на външния интеграл. Този метод се препоръчва да се започне кана нишка.

1) изчисляване на вътрешната интеграл, интеграцията се извършва върху променливата "г":

В неопределен интеграл тук е проста, банална и след това да се използва Нютон-Лайбниц формула, като единствената разлика е, че границите на интеграция не са числа и функции. Първо, формулирани в "Y" (примитивна функция) горна граница, а след това - по-ниска граница

2) Резултатът, получен в първия етап трябва да бъде заместен във външната интеграл:

По-компактен запис на всички решения, е както следва:

Получената формула - точно работи формула за изчисляване на площта на самолета фигура с "нормална" определеният интеграл! Вижте урок изчисляване на площите с помощта на определен интеграл. има на всяка крачка!

Това означава, че проблемът за изчисляване на района с помощта на двоен интеграл не е много по-различен от проблема с намирането на района с помощта на определен интеграл! В действителност, едно и също нещо!

Съответно, всички възникнат затруднения! Смятам, че не е много много примери, колкото в действителност, многократно се сблъскват с тази задача.

С двойно интеграция за изчисляване на площта на самолета фигура. Ограничени линии.

Решение: Нека си представим, района на чертежа:

Квадратна форма, които изчисляват с помощта на двоен интеграл по формулата:

Изберете следващото поле раздела ред:

Тук и по-долу, аз няма да се спирам на това как зоната на индексиране, защото е много подробни обяснения са дадени в първия параграф.

Както споменах, начинаещ е по-добре да се преизчисли интегралите поотделно, по същия метод ще се придържаме и аз:

1) Първо, основните теорема с формула изследвани с вътрешен неразделна:

2) Резултатът, получен в първия етап е заместен във външната интеграл:

Позиция 2 - всъщност намирането на кв равнинни фигури с помощта на определен интеграл.

Ето едно глупаво и наивно задача.

Любопитен пример за самопомощ:

С двойно интеграция за изчисляване на площта на самолета фигура. Ограничени линии. ,

Приблизителен проба довършителни решения за уравняване в края на урока.

В Примери 9-10 е значително по-изгодно да се използва първият метод байпас площ любопитни читателите, между другото, могат да променят реда на прекосява и се изчислява площта на втория метод. Ако не направите грешка, а след това, разбира се, ще получите една и съща стойност на района.

Но в някои случаи и по-ефективен начин да се заобиколят второто поле и в крайна сметка политиката на младите маниаци разгледаме няколко примера на тази тема:

С двойно интеграция за изчисляване на площта на самолета фигура. Ограничени линии.

Решение: Ще се радваме на двете параболи с странност, които лежаха на една страна. Smile не се нуждае от подобни неща в тройни интеграли се случват често.

Като най-лесният начин да се направи рисунка?

Представлява параболата под формата на две функции:
- горната част на ръката, и - по-ниската бранша.

По същия начин, ние представляваме парабола във формата на горните и долните клони.

Допълнителни таксита Pointwise диаграми, в резултат на което е такъв странен фигура:

Квадратна форма, които изчисляват с помощта на двоен интеграл по формулата:

Какво се случва, ако изберем най-добрият начин да се заобиколят района? На първо място, тази област ще трябва да бъде разделена на две части. И на второ място, ние ще наблюдаваме това много тъжна картина :. Интеграли, разбира се, не е на нивото на обезсърчително, но ... Има една стара поговорка математически: някой с корени приятелски, не е необходимо, че стълба.

Следователно, от неразбирателство, който е даден в състоянието изразим функции обратни:

Обратен функция в този пример има предимството, че след като цял набор параболата изцяло, без да го оставя, жълъди, клонки и корени.

Във втори метод, заобикаляйки поле е както следва:

По този начин:

Както се казва, да усетите разликата.

1) се изправи с вътрешен неразделна:

Резултатът е заместен във външната интеграл:

Интеграция по отношение на променливата "Y" не бива да се бърка с това, би било буквата "SIC" - Хубаво е да се интегрират и на него. Но кой е прочел втория параграф на урока Как да се изчисли обема на въртящо се тяло. че не се чувства най-малкото смущение за "Y" от интеграция.

Какво мога да кажа .... Всичко!

За да тествате техниката си на интеграция може да се опита да се изчисли. Отговорът би трябвало да е точно същото.

С двойно интеграция за изчисляване на площта на самолета фигура. ограничени линии

Това е пример за независими решения. Интересно е да се отбележи, че ако се опитате да използвате първия заобиколно региона, цифрата би била разделена не на две, а на три части! И, съответно, ще получите три двойки повтарящи интеграли. Понякога това се случва.

Майсторски клас приключи и е време да се премине към гросмайстор ниво - Как да се изчисли двоен интеграл? Примери за разтвори. Аз ще се опитам през втората статия, така че не Maniace =)

Решения и отговори:

Пример 2: Решение: ОБЛАСТНА изобразяват на чертежа:

Изберете следващото поле раздела ред:

По този начин:
Нека да преминем към функциите на обратните:
Променете поле раздела ред:

По този начин:
отговори на:

Пример 4: Решение: Ние се обръщаме към преки функции:


Извършване на чертеж:

Променете поле раздела ред:

отговори на:

Пример 6: Разтвор: чертеж:

Нека се обърнем към функциите на обратните:


Промяна на реда на интеграция, който разделя региона на интеграция на две части. Редът на зоната на байпас:
1), 2)
отговори на:

Пример 8: Решение: изобразяват района на интеграция на фигурата:

Нека да преминем към функциите на обратните:

Промяна на реда на пресичане на тялото:

отговори на:

Пример 10: Решение: ОБЛАСТНА изобразяват на чертежа:

Квадратна форма, които изчисляват с помощта на двоен интеграл по формулата:

Изберете следващото поле раздела ред:

По този начин:
1)
2)
отговори на:

Пример 12: Решение: Ние представляваме тази цифра в чертежа: