Руската държавна Медицински университет
Да вземем два примера.
PrimerN 1. Известно е, че в случай на туберкулоза радиография позволява диагноза в 95% от случаите (чувствителност на анализ = 95%). Ако тестът е, фалшивата диагностициране на туберкулоза се поставя в 1% от случаите (специфичност на метода = 100 - 1 = 99%). Процентът на пациентите в популацията е 0.5%. Каква е вероятността, че пациентите, изследвани, който е с диагноза туберкулоза, наистина болен?
PrimerN 2. урната съдържа 5 топки, които са известни, цвета си може да бъде бял или черен. От урна с връщането на възстановените 4 топки. Всички от тях са чернокожи. Какво може да се каже и за броя на белите топки?
Между тези два примера има голяма разлика: първата - е правилен и прост проблем в теорията на вероятностите. Второ - формулирана като вековен въпрос практика за теория като основа на опит, за да се направи заключение относно параметрите на неизвестни модел (на броя на белите топки). Какво е необходимо, е да се изясни как смисъла на въпроси и отговори форма.
1.Formula Бейс е просто и лесно могат да бъдат получени.
Да предположим, че имаме пълна група от двойки несвързани събития с известни вероятности. Някои събитие е тяхната съюз :. , Събитията в въпрос. който е известно, п условни вероятности. За да намерите най-вероятностите =? Имайте предвид, че състоянието и събитието да се отпише. При по-големи учебници като вероятност нарича "обратна".
По дефиниция на условна вероятност получаваме:
където вероятността на събитието се използва формулата на общата вероятност:
Ако добавите до всички. можете да получите на устройството, така че множителя. Тя не зависи от. Тя може да се счита за константа, която можете да намерите в края на условието за нормализиране.
2. Общата тълкуване.
Има N взаимно изключващи хипотези за това, което е вътре в обекта, както и вероятностите, с които се срещат тези вариации. Едно събитие се случи. което е известно, че вероятността, с която се среща във всеки от вариантите. Необходимо е да се направи оценка на вероятността, че предметът е разположена по определен начин.
Ако ние означаваме постоянен фактор
формула на Бейс е полезно да се помни, по следния начин:
Важен специален случай е преди вероятността за постоянно, което може да бъде включено в постоянно и да получите:
Като математически идентичност формула на Бейс не е под съмнение. Задачи, които са известни на всички вероятности са лесно разрешими.
1. PrimerN известни априори вероятност случайно избрана пациент е здравословно. = 0,995 или страдащи от туберкулоза, = 0.005, имаше събитие - с рентгенова диагностика на туберкулоза, известен условна вероятност = 0.95 (чувствителност) = 0.01 (специфичност). От тази вероятност впоследствие, че пациентът има:
Така че, ние виждаме, че след проучване на вероятността, че пациентът се е увеличил от 0,005 до 0,32. Въпреки това, впоследствие вероятността, че пациентът е здрав, все още е по-голяма:
Каква е причината, че погрешно поставена диагноза в два случая от три? Повишаване на чувствителността на метода на 100% няма да помогне за решаването на проблема: броят на пациентите е твърде малък, а дори и доста висок (99%) специфичност на метода не помага на въпроса. Става ясно, след изчисляване на т.нар Бейс фактор - отношението на задната вероятности. Отговорът е продукт на два фактора - съотношението вероятност и съотношението на априори вероятности:
Всичко е сложно, тъй като единствените официални проблемите на теорията на вероятностите, ние се обръщаме към проблемите на статистика, опитвайки се да се прилага формула на Бейс в проблема с избора на модел на обекта (идентификация на параметрите му). Има съмнителни две точки:
1. Може да приемем, параметрите на неизвестни модела са случайни величини?
2. Ако е така, как можем да знаем априорни вероятности?
Ние го реши по два начина - стандартна изграждане параметър N CI (доверителен интервал), и Бейс изграждане доверителен интервал за N (достоверни интервал).
Броят на хипотези е равно на 6 и съответства на възможен брой бели топки N:
Събитие. където - Много поуки от черни топки.
Важно е да се отбележи, че за изчисляването на "вероятности" - не зависи от това дали смятаме, че неизвестен параметър случайна променлива N (придържайки се към Бейс подход) или неизвестен константа:
Решение конвенционален начин.
Ако броят на бели топки от 2, тогава вероятността за спазване на събитието - появата в селекцията с връщането на 4 черни топки, ще бъде по-малко от
Заключение - неизвестен параметър (броя на белите топки N) принадлежи към интервала [0..2] с вероятност от 0.95: P (0≤N≤2) ≥0.95 = 1- α. Границите на "доверителен интервал" (доверителен интервал) се определя от резултатите от експеримента (събитие). Обикновено се избира така, че в голяма серия от експерименти беше г. разстояние редица N (1-α) 100% от случаите. Има граници случаен интервал от време, но настройката - не е случайно.
Обяснение. Как да се изгради доверителен интервал по принцип? В самолета (N. Х), където N - параметър неизвестен модел (броя на белите топки в кутията), и X е величината измерва в случаен експеримент (брой черни топки появи), е необходимо да се изгради област, в която точката (N. Х) е с висока степен на вероятност (например Р> 0.95). Това е удобно направено чрез определяне на различни стойности N = N и определяне на границите за X, така че следното условие :. Полученият "вертикална" (успоредна на оста у) разпръскване интервали наречени слотове (SCA т овладяване на интервали). Техните граници не са случайни и зависят от п и α. Сега, за който и да е фиксирана X намираме "хоризонталния" обхват, който пресича застроена площ. Нейните граници ще бъдат случайни, ако случайно ордината Х. Това е доверителния интервал. Е правилно да се каже не "параметър стойност попада в обхвата N" и "интервал обхваща точка, съответстваща на стойността на параметъра N". Американските статистически данни говорят за подковата (изображение интервал), която разяжда фиксирана пирон (опция). За да се реализира идеята на доверителния интервал отне повече от 100 години.
метод Бейс решение.
Предполагаме, че броят на бели топки и стойност N случаен преди експеримента има равномерно разпределение. В действителност, тук там е пълно безобразие - форма на разпределението може да бъде всеки друг.
Така че, в резултат на опита на единна преди разпределение се превърна в един бързо намаляваща последователност. , Определяне на интервала (надеждна интервал), който с вероятност от> 0.95 получава възможност (в рамките на Бейс подход) стойността на Н. Това ще бъде една и съща: 0≤N ≤2. Въпреки това, друг вариант априорни вероятности могат значително да променят отговора. Така че, много известна предварителна информация може да устои на всякакви неблагоприятни факти. Например, ако трябва да изпитате почти сигурни, че урна четири бялата топка, задните вероятностите при и се движат в посока на намаляване на броя N, но все още
При избора на предварителното разпределение прави успеха или неуспеха на прилагането на Бейс случаен. Не е изненадващо, че самият Бейс не посмя да публикува своята работа.
Background.
Познаването на историята е от съществено значение за разбирането на ролята на Бейс формула. Томас Бейс (Бейс) проучен основният проблем на статистика - оценка на вероятността стр на честотата на събитие на нейната поява ν. Ако от огромна кутия, в която има топки ( "общо население"), ние произволно извлича н топки ( "Извличане"), и сред тях К топки бяха бели, какво можете да кажете за непозната част от бели топки стр в цялата популация ? Нека п = 100 и К = 24. Би било неразумно да се просто да изравни случайна променлива v = K / п непознат за нас стойността на р и предположи, че р = 0,24 (?). След извличането на следващите 100 топки ню стойност ще бъде различен. Бейс, предложен за разглеждане на стойността на р случаен принцип, и всички априори хипотезата за equiprobable стойност р (р е равномерно разпределена между 0 и 1). Следователно, за последващ вероятността, че стойността на р е заграден с р 1 до стр 2. той получи по формулата:
С други думи, стойността на плътността на вероятността р:
когато константата С се определя от състоянието на нормализация. Ако п увеличава размера на извадката (ню ≠ 0, VA ≠ 1, п → ∞), след това разпределение р подходи нормално разпределение със средна стойност m = ν и стандартно отклонение σ = (ν (1- ν)) 1/2 / п 1/2. Това означава, че с вероятност р стойност се намира в интервала 0.95 (т-2σ, М + 2σ), т.е. .: ν - 2 (ν (1- ν)) 1/2 / п 1/2
1 / п. На практика това е същия отговор, който дава модерен теория честота, но тук стойност р вече счита неслучайно и интервала (ν -. 2 (ν (1- ν)) 1/2 / п 1/2 ν 2 (ν (1 - ν)) 1/2 / п 1/2) се нарича доверие (доверителен интервал). Така че, първо практическото прилагане на формула на Бейс за статистическата Проблемът се оказа успешен! Лаплас, Бейс формула популяризирана и да го даде модерна визия. Въпреки това, като цяло, за подмяна на разпределението на неизвестен априори върху униформата не е оправдано - несигурността, не означава еднаква вероятност! Поради това, практическото използване на Бейс подход е дискредитирана и работата на ученика, Fisher-те и Нойман през първата третина на ХХ век поставя основите на съвременната училище честота.
О Ен обхвата на формула Бейс
1) математически инструмент в теорията на вероятностите.
2) В статистиката - като обобщение на предишен опит. Предполага се, че сме натрупали опит, който позволява експериментален (!) За да се оцени априори вероятностно разпределение. Освен това, ние вярваме, че пред нас нов обект принадлежи към същата група. Тя ви позволява да се изгради на базата на класификаторите Бейс формула.
3) За статистиката - за сравнение на различни модели, когато първични вероятности са толкова неясни, че като цяло са незначителни. Много често се използва BIC (Бейс Информация Критерий).
4) Описание на състоянието на съзнанието. Поддръжници на тълкуването на вероятност на събитие като мярка за субективна увереност в своите способности да преизчисли тези ценности в процеса на появата на нови данни. Очевидно е, че математиката тук може да бъде подобна на мелницата за мелене на прах: произвола при определяне априорни вероятности може да бъде опасно.
Свързани статии