График функция диференцируема в интервала, този интервал е изпъкнал. Ако графиката на тази функция е в ивицата не повече от който и да е от нейната допирателна (фиг. 1).
График функция диференцируема в интервала, този интервал е вдлъбната. Ако графиката на тази функция е в рамките на диапазон не по-ниска от някоя от нейните допирателна (фиг. 2).
Теореми на изпъкналостите и точките на огъване
(Условия за изпъкналост или вдлъбнатина на графиката на функция)
Нека функцията определя на интервала, и има непрекъсната, ненулева в точката на втората производна. След това, ако навсякъде в интервал, функцията е вдлъбната в интервала. ако функцията е изпъкнала.
Точката на инфлексия на графиката на функция е точката, която разделя интервалите на изпъкналост и вдлъбнатина.
(Необходимо условие за съществуването на инфлексната точка)
Ако функцията има инфлексна в точката, а след това, или не съществува.
(В достатъчно условие за наличието на точка на инфлексия)
- първата производна е непрекъсната в близост до точката;
- втората производна или не съществува в точката;
- при преминаване през точката на промяна на нейния знак,
След точка функцията има инфлексия.
Хотелът проучване за проектиране на изпъкнала, вдлъбната
- Намерете втората производна на функцията.
- Намерете точката, в която втората производна е равна на нула или не съществува.
- За да се изследва знака на производната на ляво и дясно и всеки намери точка, за да се заключи, че интервалите на изпъкналост и точките на инфлексия.
Задача. Намерете интервалите на изпъкналост / вдлъбнатост
Решение. Намираме втората производна на дадена функция:
Ние считаме, точката, в която втората производна е равна на нула, за да се реши това уравнение:
Проверяваме знака на втората производна на ляво и дясно на точката при:
Тъй интервала втората производна, тогава този интервал е изпъкнала; се дължи на факта, че в интервала на втората производна - вдлъбната функция. Тъй като при преминаване през точката на второ производно знак променя, тази точка е инфлексна точка на графиката на функция.
Отговор. Точката - точка на инфлексия на графиката.
Функцията интервал е изпъкнала, вдлъбната функцията интервал.