изпъкнала функция

Предишен ◈ Следващото

А реално ценен функция определя на определен интервал (по принцип на изпъкнала част от вектор пространство) е изпъкнала, ако за всеки две стойности на аргумент х. у и за произволен брой тон ∈ [0. 1] неравенство Jensen е:

Ако това е строго неравенство за всички т ∈ (0. 1) и х ≠ у. тогава функцията се нарича строго изпъкнали; Ако обратен неравенството, функцията се нарича вдлъбната. или нагоре изпъкнали.

F функцията. изпъкнала на интервала I>. е непрекъсната по цялата I>. диференцируема върху всичко, което> с изключение на не повече от изброимо множество от точки и два пъти диференцируема почти навсякъде.
Всяко изпъкнала функция е subdifferentiable (а subdifferential) по цялата област.
В изпъкнала функция минава през всяка точка на подкрепа hyperplane му епиграф.
Непрекъсната функция е е изпъкнал на I> ако и само ако за всички точки от х. Y ∈ I> неравенството е (х + у 2) ≤ е (х) + F (у) 2> \ дясно) \ екв >>
Непрекъснато диференцируема изпъкнала функция на една променлива в интервала ако и само ако графиката се намира не по допирателната (референтен hyperplane) провежда за тази диаграма във всяка точка на интервал изпъкналост.
Изпъкнала функция на една променлива в интервала е ляво и дясно производни; производно в ляво ≥ полето производно; производно на изпъкнала функция - без намаляване функция.
Два пъти диференцируема-изпъкнала функция на една променлива в обхвата, ако и само ако е неотрицателно второ производно в този интервал. Ако вторият производно е два пъти диференцируема строго положителен функция, такава функция е строго изпъкнала, но обратното не е вярно (например функция F на (х) = х 4> е строго изпъкнал на [- 1 1], но е дадено второ негово производно в точка х = 0. нула).
Ако функция F. г са изпъкнали, тогава всяка линейна комбинация е + б грам положителни коефициенти а. б е изпъкнала.
Местен минимум изпъкнала функция е и глобален минимум (съответно за изпъкнали функции до локален максимум е глобален максимум).
Всяка стационарна точка на изпъкнала функция е световен връх.
За изпъкнали функции неравенството на Jensen:

(Е (X)) ≤ E (F (X)).
където X - случайна променлива с стойности в областта на функцията F. E - очакването.

Свързани статии