Диференциално смятане значително улеснява задачата на неопределен вид при изчисляването на граници. Прости видове приемни неопределен форма и дава правило L'болницата. същността на която е следната теорема.
Теорема. Границата на съотношението на два безкрайно малки или големи безкрайно функции, когато х → x0 е граница на съотношението на техни производни, ако съществува последния, т.е. (К може да бъде ограничен или безкрайно).
Друг вид на несигурност на 0/0 може да се отвори с различен метод.

правило L'болница може да се използва многократно, ако съотношението на производните дава отново или несигурност.

Пример №3. Намери.
Решение.
.
Забележка 1. Прилагане многократно правило L'болницата, е необходимо всеки път да се провери, дали вече разкри, несигурността, в противен случай може да се получи неправилен резултат.
Забележка 2. В изискване теорема, че е налице значителен, защото ако тя не съществува, това не означава, че същото не съществува. Например - не съществува, обаче.
Несигурност във формата и 0 · ∞ ∞-oo, използвайки идентични трансформации несигурност са сведени до 0/0 или ∞ / ∞ и след това се разширява чрез правило L'Hopital на.
0 · ∞ възникне несигурност, когато искате да се намери тема. В резултат на преобразуването (или) се получава несигурността на 0/0 (или ∞ / ∞).
Ако искате да намерите и къде, а след това, представляваща разлика е (х) - г (х) =, ние получаваме несигурността на 0/0. Несигурност образуват 0 0. 1 ∞. ∞ 0 от логаритъм експресия [е (х)] г (х) се редуцира до несигурност 0 · ∞, обсъдени по-горе.

Пример №4. Намери.
Решение. Тук имаме несигурността 0 · ∞. Препишете този израз под формата.
Сега можете да приложите правилото L'болницата:
.

Пример №6. Намери.
Решение. Този израз е неопределен форма ∞-∞. да го конвертирате в различни видове:

Пример №8. Намери.
Решение. Тук неопределена форма 0 0. Да Y = X X и логаритми: lny = х · лорноксикам, където поради непрекъснатостта на логаритмичната функция (Пример 4). Така че, когато, т.е. ,

Пример №9. Намери.
Решение. В момента има несигурност 1 ∞. че може да се отвори с помощта на втория забележителна граница, но ние се илюстрира още един прием. Означаваме, а след това

.
Ние се получи, след което по дефиниция логаритъм.

Пример №10. Намерете границата, като се използват принципите на L'болница-Бернули.
Решение.
F функцията (х) = LN (х) е диференцируема на всички определения поле функция # 966; (х) = х 3 х диференцируема за всеки от R, когато х → ∞; 3 х → ∞. В момента има несигурност. Нанесете L'болница е правило-Бернули:
.

Пример №11. Намерете границата, като се използват принципите на L'болница-Бернули:
.
Решение. логаритъм функция
,
получаваме:
.
Функция LN (х) и LN (д х -1) диференцируема на (0 + ∞). Нанесете L'болница е правило-Бернули за несигурност:
.

Изчислете ограничение на прилагането на правилото L'болницата.

Решение. правило L'болница позволява да разкрива несигурността 0/0 и ∞ / ∞.
За нашия пример:

правило L'болница е приложимо, в която се казва, че границата на отношението е равна на пределните функции на съотношението на техните производни.

За нашия пример:
е (х) = π-2arctg (х)
г (х) = 1 / х
Намираме първата производна

G '(х) = -1 / 2 х

F '(х) = 2x
G '(х) = 2x

Отговор: 2