График диференцируема изпъкнала функция се нарича надолу (нагоре) на интервал, ако тя е по-горе (по-долу) всяка тангента функция в този интервал.
точката графика за разделяне на различните части на изпъкналост, нарича точка на инфлексия.
Теорема: Ако функцията във всички точки на интервала е отрицателен (положително), втората производна, графиката на функцията на този интервал е изпъкнала нагоре (надолу).
Пример 2. За определяне на интервалите на изпъкналост и инфлексна точка на графиката
За да намерите интервалите на изпъкналостите и точките на огъване трябва да се намери втори производни функции;
Приравняването на втората производна на нула и решаване на получената уравнението е:
Полученият цифров точка разделение на две интервали ос. За определяне на знака на втората производна на тези интервали :;
Тъй като точката принадлежи на графиката, както и при преминаване през нея, втората производна промени подписват, а след това - на инфлексна точка на функциите на графиката.
В интервала, втората производна е отрицателен, това означава, че функцията на графиката е изпъкнала нагоре. Съответно, интервал функция графиката е изпъкнала надолу.
Когато х → + ∞, х → - ∞ или в близост до точките на пречупване на второто вид на графика на функцията може да бъде произволно доближават до права линия. Тези линии се наричат асимптоти.
Тази линия се нарича вертикална асимптота на графиката на функцията, ако поне един от едностранни рамките на тази функция в tochkea е + ∞ или -∞.
Може да се отбележи, че за да открие най-вертикална асимптота достатъчно, за да се намери точки на прекъсване на втори вид. Ако функцията има равновесна точка на. след това - вертикална асимптота.
Наклонена асимптота графики функция у = е (х) е във форма Y = KX + б. където
.
Имайте предвид, че ако най-малко един от коефициентите или б е равна на безкрайност, можем да заключим, че наклонът на асимптотата там.
Ако к = 0. вертикалната асимптота е писано в форма у = б. Тази линия се нарича хоризонтална асимптота.
Пример 3. Виж функцията асимптота
Очевидно е, че точката ще бъде втората вид брейк пойнт, а след това направо на вертикална асимптота на графиката на функцията.
Ние проверите дали тази функция ще бъде склонен асимптота:
Това означава права - наклонена асимптота на функциите на графиката.
Общата схема на функцията на научните изследвания
1.Nayti функции домейн.
2.Find графиката на точките на пресичане с координатните оси.
3.Nayti крайности на функции.
4.Nayti интервали монотонност.
5.Nayti интервали изпъкналост и инфлексна точка.
7.Nayti набор от ценности
Пример 4. За да се изследва функцията и изграждане си графика
Ние ще изследва общата функция схема:
1. Очевидно е, че. Затова OOF:
2. Намерете точката на пресичане с координатните оси:
. Получени точка (-, 0); (0)
3. определят крайните функции:
х = 1 - максимална точка (1; 2)
х = 3 - минимална точка (3; 6)
4. В схема получен по-горе ние заключаваме, че
когато функцията е увеличаване;
ако функцията намалява.
Вторият производно предполага положителни и отрицателни стойности в по. Следователно, когато функцията на график е изпъкнала надолу и графиката на когато издатина нагоре.
Смисълът на диаграмата разделя различна изпъкналост, но тъй като това не принадлежи на графика, на инфлексна точка на това не е така. Други точки разделяща част на графиката не е различен изпъкналост. Така че, можем да заключим, че няма инфлексни точки.
6. проучване на функцията на асимптота
Очевидно е, че линията - вертикална асимптота на графиката на функцията.
Според тези точки се изгради графиката на функцията, както и асимптота на графиката.
7. Графиката показва, че функцията се всички стойности върху реалната ос от интервал от максимум до минимум на функцията, т.е. набор от стойности на функции.
F (х) функция се нарича примитивна функция е (х) в интервала, ако за всички х в този интервал, на F равенство '(х) = F (х). Наборът от всички примитиви функция е (х) се дава с F (х) + С gdeS - постоянна и се нарича неопределен интеграл.
Свойствата на неопределен интеграл:
5) Ако. след това. където - произволна диференцируема функция.