инерционен момент на стойността на добавка, която е равна на сумата от моменти на инерция на всички частици в организма:
Тук ми - аз тата маса частици, които могат да бъдат свързани с плътността и обема на веществото ри частици:
Ако тялото е хомогенен, т.е. нейната плътност е един и същ навсякъде, тогава г могат да бъдат взети извън знака на сумиране:
Разделянето на тялото във все по-малки частици, ние се намали проблема с намирането инерционният момент при изчисляването на интеграла:
Интеграцията се извършва около V. обемното тяло
Като пример се изчисли инерционният момент на относително тънък хомогенен прът ос Z. минаваща през центъра на маса - (. Фигура 9.3) на точка С. дължина на стволови - л. неговата маса - М.
На разстояние от оста на въртене X DX изберете елемент. маса DM =.
Инерционният момент на частиците на пръта е:
Изчисляване този начин, всички инерционни моменти на елементите на прът, добавете ги, като интеграл:
.
Интеграция проведе на х в интервала от до.
Как да променя инерционният момент на пръта, когато оста на въртене да се премести на друго място? Дръжте го, например, чрез уеб край?
В този случай, първият трябва да се счита неразделна част от диапазона от 0 до л.
Новата стойност на момента на инерция на пръта се е увеличил значително. Това се дължи на факта, че в момента на инерция се определя не само от теглото си, но също така и неговото разпределение по отношение на оста на въртене.
Повече изчисли инерционният момент на тялото: солидна цилиндър по отношение на неговата геометрична ос.
Нека M - маса, и R - (. Фигура 9.4) радиуса на цилиндъра. Различаваме този слой цилиндрична цилиндър с радиус R и на дебелината на д-р. Теглото на този слой:
където: R - плътност на материала на бутилката;
Всички частици от този слой са на еднакво разстояние от оста на въртене - геометричната ос на цилиндъра, след момента на инерция слой е:
За да намерите инерционният момент на цилиндъра интегрира последния израз:
Имайте предвид, че PR 2 л = V - обем на цилиндъра, и RPR 2 л = Rv = М - маса.
Тогава инерционният момент на цилиндъра по отношение на неговата геометрична ос най-накрая може да се запише в тази форма:
Инерционният момент около произволна ос (I) е сумата от момента на инерция на Ic по отношение на ос, успоредна на това, преминаваща през центъра на тежестта, и М продукт на телесното тегло от квадрата на разстоянието между осите.
където - разстояние между осите.
На Фигура 9.5 на оста на въртене, перпендикулярна на равнината на чертежа: 0 преминава през точката на произволна ос; паралелна ос, преминаваща през центъра на тежестта - точка С Разстоянието между осите - а.
Разграничаване елемент телесно тегло DMI. Нейната инерционен момент на оста 0 е равна на:
Както се вижда от графиката, когато:
Сега инерционен момент DMI частици (9.10) може да бъде представен от сумата от:
За да намерите инерционният момент на цялото тяло, трябва да добавите до всички моменти от инерцията на частиците:
Тук, за признак на сумата изваден постоянен - разстоянието между осите, както добре. Първият план от дясната страна на Ма = 2 тъй = М - масата на тялото. Втори мандат = IC - инерционният момент по отношение на оста, минаваща през центъра на масата. Третият термин е нула, тъй като сумата е равна на произведението на тегло вектор от ос С, проведено от центъра на масата на тялото. Но С ос преминава през центъра на масата, така и = 0 М = 0.
Чрез събирането на тези резултати в уравнение (9.12), ние се получи експресия на теоремата на Хюйгенс-Щайнер:
Тази теорема значително опростява задачата за изчисляване на моментите на инерцията.
Известни, например, от момента на инерция на пръта по отношение на една ос, минаваща през центъра на масата (9.7):
Използване теорема Хюйгенс-Щайнер лесно да се изчисли момента на инерция на пръта по отношение на Z 'ос, преминаваща например чрез регион прът (фигура 9.3.):
Тази стойност на инерционния момент съвпада с резултата (9.8), която е получена чрез директно интеграция.