Както при всеки пръстен, областта е група в рамките на операцията на прибавяне. Всички елементи на областта не е равно на нула, образуват група в рамките на операцията на умножение. В действителност, ако ≠ 0 и б ≠ 0, тогава уравнение ос = б има решение р ≠ 0, т. За да. А · 0 = 0 ≠ б (вж. Теорема 1). Следователно умножаване свойства IV, V (см. 1 разделителна способност) и VII докаже твърдението. Група по отношение на прибавяне на всички елементи на областта се нарича добавка. и група при умножение на всички елементи, различни от нула - мултипликативната групата на терена. Полето е напълно определена, като се посочва две от тези групи, задачата на произведения на нула за всички елементи и изисквания за разпределителни право за всички нейни елементи, включително и нула. От това следва, че продуктът на всеки елемент нула е нула (вж. Теорема 1).
От свойствата на мултипликативна група (вж. Теорема 1) предполага, че има елемент в областта, т.е.. Е. Такъв елемент напр. че ад = д = а за всичко в P. В действителност, за ≠ 0 това от свойствата на идентичност, и за = 0 - поради свойствата на нула, когато умножена. Освен това, за всяка една ≠ 0, има обратен -1 така че аа -1 = а -1 а = напр. В това устройство, и обратна на д -1 за даден определя еднозначно.
. Ако е единица в пръстена, само един, че е ако Е1 и Е2 -. Един, след е1 = E1E2 = е2. . Ако елемент с единица пръстен има обратен елемент, само един, който е ако А и Б в -. Обратното на. след това Ь = ВАС = С.
Но в пръстена с устройството не може да бъде реципрочни елементи, такива като, например, в пръстена от цели числа. Освен това няма пръстенни единици, като, например, дори номера пръстен или пръстен от цели числа, множествена брой п> 1.
Ако има единица пръстен R е ≠ 0 за всеки един ≠ 0, има обратен -1. тогава елементите на пръстена, ненулева, образуват мултипликативна група (и), и по този начин, R е поле пръстен.
Тъй като мултипликативна група комутативен, тогава назад операцията умножение - разделяне. Когато този коефициент е уникално решена за всеки един. не е равно на нула, а всеки б. За б ≠ 0 това от свойствата на мултипликативна група на полета (група) и Ь = 0, имаме като · 0 = 0. допълнителното изискване на ≠ 0, включени в имот VII, нарушава симетрия свойства на добавянето на поле и размножаването. Отхвърляне на това търсене и по този начин да се възстанови тази симетрия, обаче, е невъзможно. В действителност, уравнение брадва = Б с = 0 и б ≠ 0 още няма решения в областта или дори в пръстена, съдържащ елементи, различни от нула. В действителност, ако р - разтвора на това уравнение, след това воден разтвор = 0 · р = 0 = б. това не е възможно. Ето защо, деление на нула е невъзможно, когато дружеството не е нула. Самостоятелно може да бъде всеки елемент на пръстена, като имаме, за всяко р 0 ≠ р = 0.
Свързани статии