Паралелограма се нарича четириъгълник чиито противоположни страни са успоредни.

Ако диагоналите на четириъгълник пресичат и точката на пресичане са разделени на две, след това четириъгълник - успоредник.

Нека ABCD - успоредник, о - в точката на пресичане на диагоналите на успоредника.
Δ AOD = Δ COB първият знак за равенство на триъгълници (OD = OB, AO = OC от хипотеза, ∠ AOD = ∠ COB, тъй като вертикалните ъгли). Следователно ∠ ОВС = ∠ ОПР. И те са вътрешно напречно лъжеш линии АД и BC и рязането BD. Въз основа на паралелния прави линии АД и пр са успоредни. Просто се докаже, че AB и DC също са успоредни. По дефиниция, четиристранни успоредник. Това доказва теоремата.

Ако четириъгълник двойка срещуположни страни са успоредни и равни, тогава четириъгълник - успоредник.

Нека ABCD - четириъгълника. АД успоредно на BC и AD = BC.
Тогава Δ ADB = Δ CBD при първия знак за равенство на триъгълници (∠ ADB = ∠ CBD, както вътрешни, така кръст, разположена между линии АД и пр и ПБ на рязане, AD = BC от състоянието, DB - общо).
Следователно ∠ АБД = ∠ CDB, и тези ъгли са вътрешни напречно разположена линии АВ и CD и DB на рязане. От Теорема подпише успоредни линии AB и CD са успоредни. Така че, ABCD - успоредник. Това доказва теоремата.

Ако четиристранни противоположни ъгли са равни, правоъгълник - успоредник.

Като се има предвид четириъгълник ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD и ∠ ABC = ∠ CDA.

Начертайте диагонал DB. Сумата от четирите ъгъла на многоъгълника е равна на сумата от ъглите Abd и BCD триъгълници. Тъй като сумата от ъглите на триъгълник е 180 º,
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA. = 360 º. За разлика ъгли в четириъгълника са равни, тогава ∠ DAB + # 8736 ABC = 180 º и ∠ BCD + ∠ CDA = 180 º.
BCD ъглите и CDA са вътрешни за едностранно линии АД и BC и DC напречно сечение, тяхната сума е равна на 180 º, така че следствие на теоремата за признак на успоредни линии, успоредни линии АД и пр. Той също така е доказано, че AB || DC. По този начин, четириъгълник ABCD - успоредник по дефиниция. Това доказва теоремата.