Естественият кривата на уравнението.

Кривината и усукване напълно характеризира формата на кривата, с изключение на своята позиция и ориентация в пространството. Те също са определени функции на дължината на дъгата, като параметър

Тъй като дължината на дъга, кривина и торзия не зависят от начина на задаване на параметрите и изборът на координати в пространството и функции също са независими от този избор. Уравнения (1.5.20) се наричат ​​естествени уравнения на кривата. Ако двете криви имат същото природен уравнение, те са идентични и се различават само по положението и ориентацията в пространството. Функции еднозначно определят крива до позиция и ориентация в пространството.

Обикновено, настройка на параметрите на кривата не е оригинално. Определяме базисни вектори и коефициентите им за всяка настройка на параметрите. Производни на параметъра ще бъдат означени с инсулти. На първи, втори и трети производни с радиус вектора на кривата в параметър представляват както следва:

при което - първата, втората и третата производни на дължината на дъгата на параметъра крива. От (1.5.21) дава формула за изчисляване на производно на дължината на дъгата на параметъра и формулата за изчисление на вектора на допирателната

Увеличаването (1.5.21) vectorially от (1.5.22), ние получаваме формула за определяне на кривина и посока крива binormal

Увеличаването (1.5.26) vectorially от (01/05/25) и като се използва уравнението на двойно кръстосано продукт () дава формула за изчисляване на посоката на нормалата на основните

От дясната страна на уравнение (05/01/27), че векторът е вектор компонент перпендикулярна допирателна вектор т (компонент паралелно т, изважда). Извивката на кривата е равна на дължината на вектора от дясната страна

Съответно, когато радиусът на окръжността на допирателна определя по формулата

Увеличаването (1.5.26) скаларна (01/05/23), ние се получи формула за определяне на усукване на кривата

Ако кривината на кривата на този етап не е равно на нула, разделяща двете страни на (1.5.26) и (1.5.27), за да кривината (01.05.28), ние се получи нормална и binormal:

Ако знаете, че функцията на векторни линии (1.5.1), формулата (01.05.24) - (05.01.31) ни позволи да се получи всякаква геометрична информация на кривата.

Формули (1.5.28) и (1.5.29) е ясно, че кривината винаги е неотрицателно (в числителя и знаменателя са квадратни корени) и усукване може да има или знак. Ако кривината е нула, по посока на основните нормални, binormals и усукване не са определени. Ако кривината е нула във всяка точка на кривата, е права линия. Векторът на основната нормално в този случай може да има произволна посока в нормалната равнина. Ако векторите са колинеарни, усукване на кривата е равна на нула и кривата е плоска.