Задачи, произтичащи в двойни интеграли.
Проблемът на цилиндричната обем. Да разгледаме тяло с основа, разположена в равнина, ограничена повърхност и цилиндрична повърхнина, чиято генератори са успоредни на оста и служи като граница на водещия региона. Това се нарича цилиндричната тяло (цилиндричен лъч или общ цилиндър). Вие искате да се изчисли обема на цилиндричната.
За да реши проблема, районът се разделим условно на две части, площта, която също е обозначен с, съответно. Във всяка от елементарни райони () изберете произволна точка и стойността на функцията в този момент се умножава по област област. Този продукт е равен на обема на цилиндричното тяло с базова площ и височина. Ние формират сумата на всички тези продукти:
Тази сума изразява размера на стъпката на цилиндричното тяло, приблизително замяна цилиндрообразната,
Нека диаметъра на елементарни региона чрез, т.е. най-голямото разстояние между точки, лежащи на границата, както и най-голямата от тези диаметри - сам. Очевидно е, че ако .Obemom общия обем на цилиндъра е границата на съответния етап на тялото:
Проблемът на маса плоча. Да разгледаме равнина площ, ограничена от затворена линия, в която веществото се разпределя с плътност. Този район се нарича ламината. Ние изчисли масата на плаката, като се предполага известен функция.
ОБЛАСТ произволно разделени в областта на област, която е обозначена с еднакви символи. Да приемем, че във всяка плътност единица площ постоянна и равна на плътността в точка в района, т.е.. F .. След това продуктът се изразява приблизителното тегло на единица пластина, и сумата на всички такива продукти - приблизителното тегло на целия запис, т.е. ..
Точната стойност на цялата маса на чинията, моля обърнете се към границата, където - най-големият от диаметрите на полето:
И двата проблема са довели до необходимостта да се разгледа двумерен неразделна сумата
за региона и неговата граница на функция в.
Определение. Броят се нарича граница на интегрална сума, ако за всеки един от многото, можете да укажете, че ако неравенството
независимо от избора на точките в елементарни области.
Определение. Двойна неразделна върху площ от функцията е на границата на интегрираната си сума, когато, ако има такъв, и не зависи от начина, по който разделя зоната и изберете точки:
Когато тази функция се нарича подинтегрален, а площта - областта на интеграцията.
Двойният интеграл на функция на областта е определен, както следва:
Обърнете внимание, няма доказателства, че съществува лимит на интегралната сума, ако функцията е непрекъсната в затворения участък с площ. Ако не съществува на границата на Риман суми, тогава функцията се нарича интегрируеми в района. Следователно, всички непрекъснатост на са интегрируеми, включително прекъснати функции са интегрируеми и не-интегрируеми.
При решаването на проблемите, описани по-горе, следните геометрични и физически смисъла на двойната интеграл:
1. Геометрична значение: двоен интеграл на област г е равен обем цилиндрообразната с база, която е ограничена от горната повърхност
2. физически смисъла на двойната неразделна: ако неотрицателна функция изразява плътността на повърхността на плочата, след което масата му е равна на двойния интеграл на дадена функция на терена
Свързани статии