4.6 *. Countability на рационални числа. Uncountability реални числа
Сравнение на комплекти с помощта на концепцията за едно-към-едно кореспонденция.
5. Определяне Два комплекта, сред елементите, които могат да създадат едно към едно съответствие (Биекция) се наричат equicardinal.
Забележка. Лесно е да се провери, че ако X има същата мощност като на снимачната площадка и на снимачната площадка Y. Y има същата мощност Z. след това да настроите X еквивалентна на набор Z.
Набор X се казва, че краен. ако съществува естествено число N (броя на елементите, наречен mnozhestvaX) между множеството елементи X и елементите на п -1, п> може да се установи съответствие едно към едно.
Очевидно е, че двете крайни множества имат една и съща кардиналността единствено и само ако. когато те съдържат еднакъв брой елементи. В празното множество е по дефиниция се счита за окончателно. Комплекти, които не са краен се нарича безкрайно.
Ето някои примери за определя безкраен еднакво силен.
Примери.
1. Комплектът дори положителни числа, еквивалентни на множеството на всички естествени числа. Всъщност линия п 2n на. 1, 2. е Биекция на набор от естествени числа N и множество дори положителни числа.
2. Множеството от всички числа, еквивалентни на множеството на естествените числа. В действителност, спазването
Това е Биекция на набор от естествени числа N и набор от числа Z.
3. Всеки две ограничен интервал (или сегмент) на еквипотенциални реалната линия. Ако две от интервала (А, В) и (С, D), картирането
е Биекция на интервали (А, В) и (С, D) (съответно интервали [а, б] и [с, г]).
4. Множеството от всички реални числа R същата мощност като всеки краен брой линия интервал. Чрез наблюдения способност след 5 и пример 3 е достатъчно да покаже, че наборът от реални числа има същата мощност най-малко един интервал, така че е достатъчно да се отбележи, че функцията е едно към едно съответствие между точките на интервала (-1,1) и точките на целия реално ос.
Примери 1, 2 и 4 показват, че в случай на безкрайно набори правилно подмножество на безкрайно множество може да бъде еквипотентен на целия набор.
5. Да предположим, че даден набор X. Всеки картографиране набор от естествени числа N множество X. т. Е. картографиране на форма F. NX. Това се нарича последователност от елементи на X. елемент F на (п), Н Н. хп е обозначен с и се нарича N-ти posledovatelnostif член. NX. броят на п - броят му. и F елемент (п) X - стойността на този термин.
Последователност е. NX също означен хп> или хп. п = 1, 2.
Имайте предвид, че срокът на последователността се дава от своята стойност и номера. Ако п> т. след член на Xn последователност се нарича член след XM член. Много от членовете на последователността е същата мощност като набор от естествени числа, тъй като всяко число съответства на срока на последователност и различни естествени числа съответстват на различни членове на последователностите, които се различават един от друг най-малко номера. По този начин, множество от последователността винаги безкраен, а наборът от стойности на последователността, т.е.. Д. зададените стойности на функцията F. NX (с други думи, една подгрупа на набор X. към който дисплей означава показва множество от Nf-естествени числа) може да бъде ограничен набор, по-специално, се състои от един елемент. В последния случай, т. Е. Когато в последователността на всички стойности на елементите са същите, тя се нарича неподвижна.
Дефиниция 6. определя същата мощност като множеството на естествените числа, наричани броенето.
От горните примери 1, 2 и 5, че множеството от всички четни числа, всички числа и всички членове на всяка последователност са изброимо.
Нека X - .. Countable набор, т.е. съществува биективен картографиране (Биекция) на множеството от естествени числа N в множество елемент X. X. комплект съответства с този картографиране, на брой п. означават, както в случая на последователност, хп и п е броят на неговия номер. Затова можем да кажем, че на снимачната площадка е броим ако нейните елементи могат да бъдат изброени от естествени числа. определяне Разлика изброимо множество последователности се състои във факта, че в случай на последователността картиране на множеството на естествените числа, не е необходимо да бъде биективен: не изключва случаите, когато различни естествени числа ще бъдат поставени в съответствие един и същ елемент. От това следва, че наборът от стойности на последователността е или крайни или бройна, т. Е. Както се казва, не повече от изброимо.
Lemma1. Всеки комплект съдържа безкраен безкрайно изброимо подмножество.
Нека X - безкраен брой; след това във всички случаи не е празна, т.е.. е. да има най-малко един елемент, означен с x1. Тъй като множество X е безкрайна, множеството X \ x1> също празен, т.е.. Е. съдържа поне един елемент, означен х2. Продължавайки този процес, на етапа на п-ия получаваме хп елемент. От Х - безкраен брой, тогава набор X \ x1, x2. хп> не е празна, т.е.. д. съдържа поне един елемент, означен хп 1 и т. д. на набор X1, X2. хп> -. необходимо е изброимо подмножество на X.
Лема 2. Всяко безкрайно подмножество изброимо множество броим.
Нека X - изброимо множество: X = x1, x2. х н.> и YX. Y1 означават елемент на Y. с най-малкия брой на X. чрез y2 - елемент като следващото най-близко броя Y., и т.н. Тъй като всеки елемент от Y е елемент на X Xn набор, и следователно е числото п ... след това, след определен брой стъпки (не повече от п) той получава определен брой т, и в комплект Y. т. е. да бъдат посочени YM. където, като множеството от Y за неопределено време, този процес може да продължи неопределено време. По този начин, всички елементи на Y ще бъдат изброени като средство за множеството бройна.
Теорема. Множеството от всички рационални числа е броим.
Подредете всички рационални числа в таблицата, съдържаща безкраен брой редове и колони, както следва (виж таблицата).
Тук, в п-та линия поставя рационални числа записани неделими рационални фракции с знаменател п и сортирани по възходящ ред на техните абсолютни стойности, и веднага след всяко положително число да бъдат противоположни към него. Очевидно е, че всеки рационално число е в някакъв място в таблицата.
Сега произтичащите изброявам елементи според следната таблица, в която числата в кръговете са съответните елементи и Стрелките показват посоката на номерация. В резултат, всички рационални числа са номерирани, т. Е. набор от рационални числа Q броими.
Въпросът естествено възниква дали има безброй комплекти, т. Е. безкраен комплекти не са броими, а ако има, интересно е да се изгради един пример за несметен набор.
Свързани статии