Решаване на проблеми с нарязани играе важна роля във формирането на понятията пространство, както и за равенство на equidecomposability, развитие на геометрични понятия.
Двете фигури се наричат equidecomposable. ако те могат да бъдат разделени на същия брой двойки еднакви парчета.
От свойствата на областта показва, че equidecomposable цифра равна площ. По-специално, equidecomposable полигони с еднаква площ. Например, показано на фигура правилен шестоъгълник и успоредник - equidecomposable фигури, като и двата са съставени от шест равни равностранен триъгълник.
Естествено е да се обърне на въпроса: Дали всеки два полигони на равно и опа? Позитивните му се получава разтвор, в XIX век.
Теорема. Всеки две полигони на равно и опа.
Доказателството на теоремата е получена в резултат на прилагането на няколко теореми.
Теорема 1. Две фигури equidecomposable със същата фигура, опа.
Dokazatelstvo.Deystvitelno, нека фигури F "и F" Равно да разбера F. Помислете линията разделяща фигура F от страната, от която можете да направите фигура F "и, освен това, линията разделяща фигура F от страната, от която можете да направите фигура Ф. " Тези и други линии разделят фигура F на по-малки парчета, които могат да бъдат образувани като фигура F 'и Е ". По този начин, F фигури' и F" опа.
Теорема 2. Всеки две еднакви-успоредник и опа.
Dokazatelstvo.Rassmotrim първите две успоредник с равни основи. При условие, че са с еднаква площ, а след това, да има същата височина. Равен във всеки успоредник сегменти успоредна на останалите страни на успоредник. После двамата успоредник са разделени на равен брой двойки еднакви триъгълници.
Сега нека успоредник имат равни страни. Construct трета успоредник, който има първа база и на същата височина. Тъй като в този случай от другата страна на третия успоредник могат да бъдат избрани произволно, да я направи равен на единия край на втория успоредник. След третия успоредник е също толкова голям и първият и вторият, и всеки от тях има равен страна. В резултат на това equidecomposable и първи и втори успоредник. От Теорема 1, първа и втора Parallelograms опа.
Теорема 3. Всеки две триъгълници с еднаква опа.
Dokazatelstvo.Kazhdy триъгълник продължаване на средната линия се превръща в изометрична го успоредник. Следователно двете еквивалентни триъгълници се превръщат в две еднаква площ на успоредник. Чрез теорема 2 equidecomposable тези паралелограми и следователно конфе първоначалните триъгълници.
Теорема 4. Всеки equidecomposable многоъгълник с триъгълник.
Dokazatelstvo.Rassmotrim полигон и един от върховете й ще се движат успоредно на диагонала на продължаването на една от страните. Когато това се превръща в оригиналната многоъгълник изометричен многоъгълник с броя на страните, едно по-малко. Като се има предвид, че сме заменя един от друг триъгълник - равна площ, а останалата част остава непроменена, ние откриваме, че новият полигон ще equidecomposable с оригинала. Продължавайки този процес, ние ще се трансформира първоначалната полигона го equidecomposable триъгълник.
Ние сега се обръщат към доказване на основните теорема. Припомнете си състав:
Теорема. Всеки две полигони на равно и опа.
Доказателство. Нека М "и М." - Да вземем два полигони equidecomposable ги триъгълници Т "и Т", съответно. Тези триъгълници от еднаква площ, и следователно опа. Оттук equidecomposable и източник полигони М 'и М ".
Тази теорема ни дава възможност, по принцип, да се намали една от двете равни полигони на парчета и ги поставя в друга многоъгълника. Все пак, това води до много голям брой малки полигони. В конкретни примери, като правило, можете да укажете много по-рационален начин за рязане.
Свързани статии