.ugah) и ще бъде циклоид.
Установяваме друго важно свойство на Циклоида и да се опита да го накара да го постави в основата за изучаване на тази крива.
Да разгледаме MTT1 триъгълник (фиг. 21), образуван от вертикални диаметър на генериране кръг допирателната към Циклоида и нормалната на тях.
Комуникацията между височината и наклона на допирателната
Ъгъл MT1T. като вписан в окръжност е равен на половината от централния ъгъл, образуван от същия дъга, т. е. равни. Начертайте MK || AB и ME ┴ AB. IU сегмент ще играе важна роля в бъдеще, за да можем да го дадете име и символ: ние го височина M циклоид обади и обозначени с буквата ч. По този начин, на височината на буква М от Циклоида е разстоянието от водач линия.
Обърнете внимание на ъгъла на КМТ. Той е равен на MT1T на ъгъл. От триъгълник TMT1 получите:
и от TCM триъгълник:
Комбинирането на тези резултати и като отбелязва, че CT = Н, ние най-накрая да получат:
Изразихме височината на М през ъгълът между допирателната в точка M и вертикалата (хоризонтално, ние продължаваме да вярваме, че посоката на линията AB). Сега ние изразяваме синуса на ъгъла чрез височината. Очевидно ние получаваме:
където к означава стойността чрез резултат, получен е постоянна за дадена циклоида излагат теорема.
Теорема 4. синуса на ъгъла между допирателната на Циклоида в точка М и квадратния корен е пропорционална на вертикалната височина на точка М.
Има този имот, е очевидно, че всеки циклоид. Възниква въпросът: в каква степен този имот характеризира Циклоида: Дали всяка извивка с този имот със сигурност ще циклоид? Ние можем да докажем, че това е точно това, което е правилно и на следващия (обратното) теорема:
Теорема 5. Ако дадена права линия АБ и точката M, единствената крива, която отговаря на условията на Теорема 4 и минаваща през точката M, ще циклоид.
Радиусът на тази циклоида генериране кръг свързан с фактор на к, посочена в теорема 4 следната зависимост:
(Разбира се, разстоянието на М от AB трябва да бъде по-малко от 2а).
Строга доказателство за това теорема чрез елементарна математика е много тромава, а ние даваме тук няма.
Ако условието на теоремата 5 не уточнява, че желаният кривата преминава през предварително споменатата точка М, няма, но безкраен брой cycloids които са получени от друг чрез паралелно изместване в посока на линията AB (един от които преминава през точка М, а другият през М1 и М2 чрез трета т. д.). Този набор, или както я наричат, циклоид семейство е показана на фиг. 22.
5.Parametricheskoe циклоид уравнение и уравнение в декартови координати
Да приемем, че са дадени Циклоида образуван от окръжност с радиус центрирано в точка А.
Ако е избрана като параметър за определяне на позицията на точката, на ъгъл Т = ∟NDM който може да се превърне радиус, който има в началото на търкаляне изправено положение е AO, Х и Y координатите на точка М са изразени както следва:
х = НА = ON - NF = NM - MG = най-грях т,
у = FM = NG = ND GD = А защото т
Така циклоидални параметричните уравнения са:
Т Когато се преминава от -∞ до + ∞ крива, получена, състояща се от безброй такива клонове от които е показана на тази фигура.
Така че, освен циклоидални параметричните уравнения там и неговото уравнение в декартови координати:
R, където радиусът на кръга, образуващи Циклоида.
6. Проблеми на намиране на части от Циклоида и фигури, образувани циклоид
Задача №1. Намерете лицето на фигурата, ограничена от една арка на Циклоида чието уравнение по параметри са дефинирани
Решение. За да се реши този проблем, ние използваме най-известните факти от теорията на интеграли, а именно:
Площта на извития сектор.
Разглеждане функция R = R (φ), определени в [α, β].
Ние приемаме, че R, а Ф полярните координати на точката. След това всеки
φ0 ∈ [α, β] съответстваща на r0 = R (φ0) и, следователно, M0 точка (φ0, r0), където φ0,
r0 полярни координати на точка. Ако φ ще варира, течаща цялата [а, β], променливата точка M описват крива AB, предварително определено
уравнение R = R (φ).
Определение 7.4. Крива сектор се нарича фигура ограничена от две лъчи φ = α, φ = β АВ и кривата дадени в полярен
координира от уравнението R = R (φ), α ≤ φ ≤ β.
Теорема. Ако функция R (φ)> 0 и непрекъснато в [α, β], след областта
криволинейна сектор се изчислява както следва:
Тази теорема се оказа по-рано в темата на определен интеграл.
Въз основа на по-горе теоремата, нашата задача за намиране на фигурите зоната, ограничена от свода на един циклоида, която се дава на параметри уравнение х = а (т грях т). Y = A (1 COS т). и оста х, се редуцира до следващото решение.
Решение. От уравнение крива DX = а (1-защото т) DT. Първо арка циклоида съответства на промяна на параметър Т от 0 до 2π. Ето защо,
Задача №2. Да се намери дължината на една арка на Циклоида
Също така в интегрално смятане е проучен следната теорема и следствие.
Теорема. Ако кривата AB се дава с Y = е (х), където е (х) и е (х) са непрекъснато в [а, б], след това се коригира AB е
Свързани статии