Начало | За нас | обратна връзка
Най-важните примери за движение на частиците в потенциалните ямките е движението на нуклоните в ядрата, електроните в атоми и молекули. Основни закони на движение на крайни частици могат да бъдат анализирани например, когато формата на релеф потенциал под формата на правоъгълна безкрайно дълбок кладенец на ширина. В интервала (0, а), потенциалната енергия се приема, равно на нула, и тя отива до безкрайност (фиг. 2.1) е извън този интервал. В резултат на това на частицата в движение не може да излиза извън границите на сегмента (0, а) или, както се казва, частицата е в една безкрайно дълбока потенциал и на ширина.
Фиг. 2.1. Правоъгълна безкрайна дълбочина потенциал добре
Тъй като вероятността за намиране на частиците е безкрайно дълбоко потенциал и е равна на нула, тогава вълна е функция на интервала (0, а) е равна на нула. Така получаваме граничните условия за решаване на уравнението на Шрьодингер:
Тъй като потенциалната енергия U (х) е независим от време, за да се изчисли функциите на вълната на частици е необходимо да се реши едномерен стационарна Шрьодингер уравнение с нулев потенциал в дъното на рова. т.е.
Даваме уравнение (2), за да каноничната форма:
е количество с размера на броя на вълната: m - 1. Характерните уравнението комплексни корени. Общият разтвор на диференциално уравнение (3) може да се запише като
стационарна уравнението на Шрьодингер, както е известно, се състои осцилиращ честота с времето фактор
. ()
Първият план е "падане" дьо Бройл вълна с амплитуда А. вълната и честота. и втория мандат - "отразената" дьо Бройл вълна, т.е. вълна посадъчен в обратна посока. Тези вълни са съгласувани, тъй като те имат една и съща дължина на вълната. Обикновено плосък де дължина на вълната Broglie се записва без време фактор, т.е. под формата (5).
Заместването на разтвора (5) в граничния състояние. Имаме и прилага формулата на Ойлер. получаваме
където - коефициент на нормализация, който се изчислява от условието за нормализиране. Заместването (6) в състоянието на нормализация
Сега замени разтвора (6) във втория състоянието на границата и да получи от. където п естествени числа. По този начин, брой вълна K - квантуваното, т.е. получава отделен набор от стойности
Замествайки (7) в (6) най-накрая получи вълновата функция, описващ състоянието на частица в една безкрайно дълбок кладенец на ширина от потенциала добре:
За получаване на спектъра енергия стойностите на резултати частиците заместители на вълнови числа (7) във формулата (4):
Както се вижда, разтворът (8) е постоянна вълна де Broglie, която се образува в резултат на намесата на "падане" и "усеща" последователен де Бройл вълни, определени от връзка (5) или (). Условие за образуването на постоянна вълна (7) могат да бъдат написани по отношение на дължината на вълната на де Broglie предвид, че. След това ние се
т.е. постоянна вълна се образува при условие, когато ширината на пътеката е цяло число от половината дължина на вълната, равна на квантовата брой п. Плътността на вероятност, т.е. вероятността за намиране на частицата в интервала единица на ямата, е съответно
Фиг. 2.2 представя функции на частиците и на вълната, съответстваща на първа вероятност плътността на състоянията при п = 1,2,3 и п = 20 >> 1.
Очевидно е, че при малки квантово число, разпределението на вероятностите за частицата в кладенеца е силно нелинеен, но с увеличаване на Спектър на функцията на плътността на вероятността тенденция да бъде по-равномерно в границите на големи квантово число. което съответства на ограничаване преминаването към класическата проблема. Всъщност, за големи квантово число п >> 1, дължина на вълната на частицата става много по-малка от широчината на яма <<а. что соответствует условию применимости классического описания, в котором волновые свойства частицы не учитываются. В тоже время квантовомеханическое описание используется в случае соизмеримости длины волны де Бройля частицы и характерного размера системы, ограничивающего движение частицы (ширины ямы), что соответствует случаю малых квантовых чисел.
Фиг. 2.2. , функциите на енергия спектър на вълната (А) и разпределението на плътността на вероятността (В) частицата в безкрайно дълбоко правоъгълна потенциал добре
Свързани статии