Името идва от старогръцки. λημνίσκος - лента превръзка. В древна Гърция "лемниската", наречен на носа, с помощта на които е приложен венец на главата на победителя на спортни игри. Този тип лемниската кръстен на швейцарски математик Якоб Бернули. тя поставя началото на изследването.

Помислете за най-простия случай: ако разстоянието между фокусите е 2 гр. те са разположени на ос О на X. и произхода разделя сегмент между двете половини, следните уравнения определят лемниската:

Foci лемниската - F 1 (- в 0) (-С 0)> и F 2 (С 0) (С 0)>. Вземете всяка точка М (х; у). Каталог на разстоянията от фокусите на точка M е

и по дефиниция, е равна на с 2>:

Squaring двете страни:

Оповестяват скоби от лявата страна:

Обявявайки скобите и навивам новия площад на сумата:

Вземаме от общ фактор и плъзнете:

След това можете да направите промяна на 2 2 = с 2 = 2c ^>. въпреки че това не е необходимо:

В този случай, а - радиусът на кръга, описващ лемниската.

Като проста трансформация, може да се получи изрично уравнение: у = ± С4 + в 2 х 4 2 - х 2 - в 2 + 4x ^ С ^ >> - х ^ -С ^ >>>

Squaring и разкрива скоби:

За формата

Като корена и изхвърляне на изпълнение с отрицателен втория срок, ние получаваме:

където положително опция определя горната половина на лемниската, отрицателен - по-ниска.

(Ρ 2 защото 2 ⁡ φ + ρ 2 грях 2 ⁡ φ) 2 = 2 в 2 (р 2 защото 2 ⁡ φ - ρ 2 грях 2 ⁡ φ) \ р ^ \ защото ^ \ varphi + \ р ^ \ грях ^ \ varphi ^ = 2в ^ \ р ^ \ защото ^ \ varphi - \ р ^ \ грях ^ \ varphi>

Ние използваме още един идентичност: COS 2 ⁡ α - SIN 2 ⁡ α = С о е 2 α \ алфа - \ грях ^ \ алфа = cos2 \ алфа>:

Както в случая на правоъгълна система могат да бъдат заменени от 2 2 = C 2 = 2в ^>:

Плътността на точките на кривата с еднакъв вариация на параметър

Това е единственият рационален вариант задаване на параметрите на кривата. Уравнението напълно описва крива, когато параметъра преминава пълния недвижими линия. - ∞ до + ∞. В този случай, когато параметърът има тенденция да - ∞. точка на кривата има тенденция да (0, 0) координира от второто тримесечие. и когато параметъра тенденция да + ∞. след това - от четвъртия. Разпределението на точки, което дава параметри уравнение, промяна на нейния параметър показан фиксирана стъпка.

Лемниската уравнение в полярен

заместител във формула преход към полярни координати х = р защото ⁡ φ. у = ρ грях ⁡ φ. издигнат на площада:

Помислете за първото уравнение:

х 2 = C 2 2 2 защото ⁡ φ COS 2 ⁡ φ = 2в ^ \ защото 2 \ varphi \ защото ^ \ varphi>

Извличане на основата на двете страни на уравнението:

Ако на мястото на р 2 = TG ⁡ (π 4 - φ) = \ operatorname \ наляво (> - \ varphi \ дясно)>. ние се получи желаният израз за х:

За да зададете лемниската в две произволни точки, вие не може да покаже уравнението отново, и определи координатна трансформация, в който старите (в момента) фокусното разстояние на преместване в ново, и да работят по уравнението, представен от тази трансформация.

Да предположим, например, F 1 (- 1, 2). F 2 (2-2) (1, 2), \, F_ (2; -2)> - огнища.

Има правоъгълна координатна система (на фигурата - X "О, Y"), в която уравнението е форма на лемниската

Необходимо е да се определи координатна система трансформация превръща х О база до х "О, Y". Тази трансформация се провежда в два етапа: паралелен превода и въртенето.

След координатната система прехвърли тя трябва да се завърти на определен ъгъл. Ъгълът на първо намери разстоянието между фокусите:

Сега, от геометрични съображения намерят задължително и косинус на ъгъла на наклон F 1 F 2 F_> да O X:

Чрез комбиниране на две трансформации, ние се получат крайните формули трансформация:

За да се получи едно уравнение в стандарта координатна система, ние заместване на тези уравнения в оригиналната крива уравнение:

х + у 4 4 + 24 XY - 2 XY 2 + Y 2 2 х 2 - 2 х 3 + х 5 х 24-2 г 3 - Y 12 + 15 16 = 0 + Y ^ + 24xy-2xy ^ + 2x ^ у ^ -2x ^ + 5x ^ -4x-3Y ^ -12y +> = 0>

Това уравнение определя лемниската с огнища F 1 (- 1, 2). F 2 (2-2) (1, 2), \, F_ (2; -2)> в стандартна правоъгълна координатна система.

С secants (метод Maclaurin)

Построява окръжност с радиус в 2 >>> центрирана в една от огнища. О от средната фокусното разстояние изгради произволен сечащ О П S (Р и S - точката на пресичане с кръга) и върху него се отлагат върху двете страни на сегменти О M 1> и О М 2>. равно акорд P S. Точка M 1>. М 2> са в различни линии на лемниската.

съчленени методи

Един вариант

В равнината избрал две точки - А и Б - бъдеще лемниската огнища. Това е специален дизайн на тримата закрепени в редица сегменти на панти, че получената линия могат свободно да се изкриви на две места (завой точки - C и D). Необходимо е да се запази съотношението на сегмента: С = B D = A B 2. С D = A B >>, \; CD = AB>. Ръбовете на линиите са свързани и трикове. Когато неуспоредни сегменти на въртене около средата на централните огнища сегмент описват лемниската Бернули.

вариант две

Това изпълнение се основава на фокуса на лемниската и двойно точка - А и О, съответно. Е почти същото шарнирна конструкция, както в предишния пример, но прикрепен към двойно точка сегмент О C който не е свързан с края на централната B D. и от средата му. Пропорциите на другата: B C = C D = О С = О А 2. В = А О >>, \; AB = AO>.

Сграда лемниската използване пресичащи