Тъй като в бъдеще ние ще използваме методите матричните изчисления, трябва да използвате по-общото определение за скаларната продукт. Ние дефинираме матрицата като таблица

скаларна. Елементите са наречени елементи на правоъгълна размера на матрицата е броя на редовете - броя на колоните на матрицата. размера на матрицата се нарича вектор колона, както и размерът на матрицата - ред вектор; номер се нарича измерение на вектора.

По дефиниция, продуктът от размера на матрицата от размера на матрицата е размерът на матрицата, при което елементите на матрицата са дефинирани по формулата:

Елемент на матрицата е сума от продуктите от елементи ия ред на матрицата елементи тата колона на матрицата. Броят колони трябва да е равна на броя на редовете на матрицата. Ето защо, на гърба може да бъде продуктът не съществува. Ако и двете квадратна матрица, тогава продуктът е определена, но най-общо казано.

Въз основа на това определение ние откриваме, че точка продукт е равна на произведението на вектора на ред, за да колона вектор, и (2.6) може да се запише като:

Обратните продукт (продукт колона вектор на вектор ред) е матрица. За скаларни свойствата на продуктите не са се променили, отношението (2.4) се пренаписва с формулите на събиране и умножение на матрици. По-специално, ако символът посочи операцията по транспониране, а след това. Припомнете си, че размера на матрицата с елементи, наречени транспонирана в зависимост от размера на матрицата с елементи, т.е. редовете и колоните са разменени. След това, прехвърляне на дефиницията скаларна експлоатацията на продукта може да се запише като

Да се ​​върнем към имота (2.1). По-общо казано, може да се изписва така:

Параметрите в (2.11), се наричат ​​матрични собствени стойности. Както показва по-долу, собствените стойности характеризират направленията на осите на координатната система, в която компонентите на вектори и паралелно.

Очевидно е, че системата (2.11) има решение, което не ни дава никаква информация. За системата (2,11) има nontrivial разтвор, детерминантата трябва да бъде нула:

Уравнение (2.12) е полином по отношение на параметър. Известно е, че корените на полинома, могат да бъдат както реални и комплексни числа. Но от физическа гледна точка, параметрите трябва да са реални числа. Това състояние налага определени изисквания по отношение на размера на установените недиагоналните елементите на матрицата. Най-лесният начин да се покаже на размера на матрицата, т.е. за двуизмерни вектори. Тъй като определящ фактор на матрицата е равна на

реалността на условията на корените на уравнението

от това следва, че. Следователно, матрицата трябва да бъде симетричен.

Ако се установи, собствените стойности (обозначени като), ние имаме:

Тъй като след това от дефиницията на скаларното продукт трябва да бъде перпендикулярни собствени вектори.

В триизмерното пространство собствени вектори определят три взаимно перпендикулярни посоки, които могат да бъдат избрани като осите на Декартова координатна система. Те се наричат ​​основни оси на тензора. вектори и успоредно по основните оси. Диагоналните елементи на тензора в системата на главните оси се наричат ​​основни моменти от тензор. и по отношение на всяка конкретна задача от особено значение.

Фиг. 2.4 основните тензорни ос обозначени с пунктирана линия. В системата на основните оси на извън диагонал компоненти на тензор нула. Лесно е да се покаже, използвайки примера по-горе. Собствените стойности са равни. Компоненти на вектора могат да бъдат открити до произволна константа :. Това означава, че ъгълът между вектора и оста е равен и е между вектора и оста. Ние сега се определи оста на новата координатна система, водейки ги по протежение на вектори, съответно. Преобразуване на координатите на координатите, както ще бъде показано по-долу, може да се запише като матрично уравнение:

при което - матрица въртене (вж ..). За този пример матрицата е равен на:

Формула реализациите компоненти опъващото прехода към координатите е от вида:

където - компонентите на матрицата. Извършване на сумиране, ние откриваме компонентите тензорни в системата на главните оси:

В глава 4, считаме координатната система, свързана със Земята. От особено значение е координатната система, определена от основните инерционните моменти оси или форма на Земята на Земята.

Условия изчезващ на скаларната продукт на вектори определя перпендикулярност, но не зависи от взаимното им ориентация. По този начин, ако единичен вектор на Декартова координатна система, разположена в равнината на страницата, на трета вектор, и перпендикуляра, и могат да бъдат насочени нагоре или надолу. В зависимост от посоката на координатната система се нарича наляво или надясно.

Изберете определена координатна система с помощта на вектор продукт на вектори.

Определяне 2.2.2Vektornoe продукт на два вектора е вектор, перпендикулярна на U, чийто модул е ​​равен на

и неговата посока съвпада с посоката на движение на десния винт, когато са включени под ъгъл по-малък.

Ако тогава векторите и паралелно (или антипаралелен). Декартова координатна система получаваме:

Компонентите на вектора, равен на вектора на продукта в Декартова координатна система, могат да бъдат намерени чрез изчисляване на определящ фактор за следното: