Ал - Khwarizmi, както и всички по математика в XVII век. т.е. отчита нулев решение, може би защото на специфични практически проблеми, това няма значение. При решаването на уравненията на общата площад Ал - Khwarizmi на частни числени примери излага правилата на решението, а след това геометрични доказателства.
Задача 14. "пл номер 21 и 10 са равни на корените. Виж основата на "(което означава, корена на уравнение х2 + 21 = 10х).
Трактат ал - Khwarizmi е първият запазен книгата, която системно е посочено класирането на квадратно уравнение и формули са дадени решаването им.
Общото правило за решаване на квадратно уравнение, намален до един канонична форма:
за всички възможни комбинации от знаци на коефициентите б. тъй като тя е формулирана в Европа само в 1544 М. Stiefel.
формули заключение за разтвора на квадратно уравнение като цяло е достъпно от Wyeth, но Wyeth признава само положителни корени. Италиански математик Tartaglia, Кардано, Bombelli сред първите в XVI век. Имайте предвид, в допълнение към положителните и отрицателните корени. Само в XVII век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и други учени начин за решаване на квадратно уравнение отнема модерна визия.
1.6 На теоремата на Място
Теорема изразяване на връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, който носи името на Място, е формулиран за първи път през 1591, както следва: "Ако B + D умножена по-A2. равно на BD. След това е равно на В и е равно на D ».
За да се разбере Vieta, ние трябва да помним, че А. Както всяка гласна, означаваше, че трябва неизвестен (ни х) в същата гласните, D - коефициентите на непознатото. На езика на съвременната алгебра горе предложение Vieta означава, че ако е налице
Изразяване на връзката между корени и коефициенти на уравнения с общи формули, написани с помощта на символи, Wyeth установи еднаквост в методите за решаване на уравнения. Въпреки това, символиката на Wyeth все още е далеч от съвременните видове. Той не приема отрицателни числа и, че при решаването на уравнения считат само в случая, когато всички корени са положителни.
2. Методи за решаване на квадратно уравнение
Квадратно уравнение - това е основата, върху която се основава на величествената сграда на алгебра. Квадратно уравнение са широко използвани в решаване тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационално и трансцедентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да се реши квадратно уравнение в училище (8 клас), до дипломирането.
Формула корени е проучен в курс ПМГ квадратно уравнение, с които може да се разрешават всички квадратно уравнение. Въпреки това, има и други начини за решаване на квадратно уравнение, които позволяват много бързо и ефективно решаване на много уравнения. Има десет начина за решаване на квадратно уравнение. Подробности в моята работа, аз се разгледа всеки един от тях.
1. МЕТОД. Разлагането на лявата страна на уравнението на фактор.
Разширяваме от лявата страна на факторите:
х2 + 10х - 24 = + 12x х2 - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х + 12) = (х + 12) (х2).
Вследствие на това уравнение може да бъде презаписано, както следва:
Тъй като продуктът е нула, тогава поне един от неговите фактори е нула. Следователно, от лявата страна на уравнението става нула, когато х = 2 и X = - 12. Това означава, че броят 2, и - 12 са корените на х2 уравнение + 10х - 24 = 0.
2. НАЧИН. Метод за изолиране на пълна квадрат.
Нека да решим уравнението x2 + 6x - 7 = 0.
Ние избираме от лявата страна точен квадрат.
За да направите това, ние напише израз x2 + 6Х, както следва:
В този израз, първия мандат - квадрата на броя на х, а вторият - два пъти повече от продукта на х от 3. Според това, за да получите точен квадрат, трябва да добавите 32 като
Ние сега се трансформира от лявата страна на уравнението
добавят към нея и изваждане на 32. Ние имаме:
По този начин, уравнението може да се запише като:
Следователно, х + 3-4 = 0, X 1 = 1, или X = -4 + 3, Х2 = -7.
3. Метод: Разтворът на квадратно уравнение с формула.
Умножете двете страни на уравнението
4а и да имат последователно:
Така, ако дискриминантата е нула, т.е. В2 4ав = 0. Eq
корени Това уравнение не го прави.
Така че, ако дискриминантата е отрицателна, т.е. b2 4ав<0.
Формула (1) на квадратното уравнение брадва 2 + BX корени + С = 0 позволява да намерите корените на всяко квадратно уравнение (ако има такива), включително по-горе, и непълна. Вербално формула (1) се изразява като корените на квадратното уравнение равна на фракция, числителя от които е равна на втората коефициент, взет с обратен знак плюс или минус корен квадратен от квадрата на това съотношение без четворна продукт на първия коефициент на постоянен план и знаменателят е два пъти първото число.
4. Метод: Решаването на уравнения с помощта на Vieta теорема.
Както е известно, предвид квадратното уравнение има формата
Неговите корени удовлетворяват Място теорема, че когато = 1 има формата
От това можем да се направят следните изводи (коефициентите на р и р може да се прогнозира признаци на корените).
а) Ако член р синтез горе уравнение (1) е положителен (р> 0), тогава уравнението има две идентични знак корен и завист е вторият коефициент стр. Ако р <0. то оба корня отрицательны, если р <0. то оба корня положительны.
б) Ако свободната Терминът р-горе уравнение (1) е отрицателен (р<0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0. или отрицателен, если p> 0.
5. Метод: Решение на метод уравнения на "трансфер".
Помислете за квадратно уравнение
Произведението на двете страни с, получаваме уравнението
Нека = у. където х = у / а; След това стигаме до уравнението
еквивалентно на това. Нейната корени y1 и 2 открити по Vieta теорема.
В този метод, коефициент се умножава с постоянен срок, тъй като той се "прехвърлят" към него, така че е по-нататък "трансфер". Този метод се използва, когато можете лесно да намерят корените на уравнението, използвайки теоремата Vieta, а най-важното, за дискриминантата има точен квадрат.
Нека да решим уравнението 2h2- 11x + 15 = 0.
Решение. "Огледален" фактор от 2 до постоянен план, в резултат получаваме уравнението
Според теоремата на Vieta
6. Процес: Имоти на коефициентите на квадратно уравнение.
А. При един квадратно уравнение
1) Ако A + B + C = 0 (т.е. сумата от коефициентите е нула), след това x1 = 1,
Доказателство. Разделяйки двете страни с # 63; 0, ние се получи квадратно уравнение
Според теоремата на Vieta
Свързани статии