а) плоска плоча променлива маса плътност.

Да разгледаме тънка пластина, разположена върху плоска-окси и костен заема региона D. Дебелината на тази плоча се счита толкова малка, че варирането на плътността на дебелината може да бъде пренебрегнато.

Повърхностно тегло на такава плоча към даден момент показва наречената граница на съотношението на масата си площ сайт при условие, че подложката се свива до дадена точка.

плътност на повърхността по този начин определено ще зависи само от положението на точката, т.е., е функция-ТА на нейните координати ..:

Ако плътността е константа (), масата на целия запис ще бъде равна, където S - площта на плочата. Сега намерите много нееднакви плочи, като се има предвид, че нейната плътност е определена функция. За тази цел, се разделят на площта, заета от плаката в частични зони с областите (фиг. 16). Изборът на всяка частична площ от произволна точка, ние приемаме, че плътността на всички места за частична площ е постоянна и равна plotnos TIV избрана точка. Ние образуват приблизително изразяване на масата на плочата под формата на интегрална сума-Tral

(*)

За точна маса трябва да намери израз лимит сума (*), при условие и всеки частичен обхват се договаря до точката. след това

б) статични моменти и центъра на тежестта на плаката.

Нека сега се обърнем към изчисляване на статичните моменти на плочата под внимание за координатните оси. За тази маса е концентрирана в съответните области частичен-ционни и определяне на статични моменти на получените нишки SIS материал точки:

Минавайки до границата при нормални условия и подмяна на интегрална сумата от интеграли, ние получаваме

Намираме координатите на центъра на тежестта:

Ако плочата е хомогенна, т.е. опростената формула:

където S - площ на плочата.

в) инерционни моменти на плаката.

Инерционният момент на материална точка Р с маса т по отношение на всяка ос е продукт на маса на квадрата на разстоянието от точка Р от тази ос.

Метод за съставяне на отчети табела инерционни моменти спрямо осите са точно същите, които ние, използвани за изчисляване на статични моменти. Ние затова присъстват само крайните резултати, като се има предвид, че:

Забележете също, че на интеграл се нарича центробежна инерция; подчерта той.

В механика често се счита полярен инерционен момент на точка, равна на произведението от масовите точки на квадрата на разстоянието от дадена точка - полюс. Polar инерционен момент на табелата за произхода ще бъде равна на

4. Изчисляване на площи и обеми, използващи двойни интеграли.

Както е известно, на обема в литри на тялото, ограничен-ТА повърхност, при което - неотрицателна функция-ТА, ploskostyui цилиндрична повърхност посока и за управление, който служи като границата на D, и формиране на паралелната ос на Оз, равна на двойния интеграл от funktsiipo област D:

Пример 1. Изчислява се обема на тялото, ограничена от повърхности на х = 0, у = 0, х + у + г = 1, Z = 0 (фиг. 17).

Решение. D - излюпени на фиг. 17 ploskostiOhu триъгълна зона, ограничена от линиите, х = 0, Y = 0, х + у = 1. Ограничаването на двойно интеграл, изчисляване на обема:

По този начин, на куба. единици.

Забележка 1. Ако тялото, която се иска обем, ограничаване-Chenoa горната повърхност и долна повърхност, при което проекционните повърхности на двете област TPS-skostOhu е D, тогава обем V на тялото е равна на разликата на обемите на "цилиндричен" тел две; Първият от тези цилиндрични тела има по-ниска база област D, и горната - втора повърхност на тялото има по-ниска база регион, D, а горната - повърхност (Фиг.18).

Ето защо, обема в литри е равен на разликата между две двойни интеграли:

Лесно е да се докаже, че по-нататък формулата (1) е вярно не само в случаите, когато ineotritsatelny но след това kogdai- всяка непрекъсната функция отговаря на връзката

Забележка 2. Ако промените в полеви D подписват, а след това се разделят на региона на две части: 1) в региона 2, където D1) регион D2, където. Да приемем, че D1 и D2 домейн са такива, че двойните интегралите за съществуват styam тези криви. След това, от района D1 е положителен-неразделна telen и ще бъде равна на силата на звука, разположена над равнината Oxy. Интегралът над D2 е отрицателно и абсолютната стойност е равен на обема на тялото лежи под равнината окси, Следователно, D ще експресират интегрални време-ност съответните обеми.

б) изчисляване на площта на плоската зона.

Ако сложим на съвместно неразделна сумата за функцията на домейн D, а след това тази сума ще бъде равна на ди S Ploscha,

във всеки метод на разделяне. Пере преминаване да се ограничи правото на равно-нето, ние получаваме

Ако D е вярна. след това площта се изразява с двоен интеграл

Интегриране в скоби, ние очевидно имаме

Пример 2. Изчислява зона област, ограничена от кривите

Решение. Данните определят точките на пресичане на криви (Фигура 19). Най-координатите на пресечните точки са равни, т.е. , OtsyudaMy имам две точки на пресичане

Поради това, необходимата площ