Определение [| ]

Елипса - локус М Euclidean равнина. за които сумата от разстоянията до двете точки данни F 1> F 2 и> (наречена огнища) е постоянна и по-голямо от разстоянието между огнища, т.е.

Свързани определяне [| ]

• Преминавайки през фокусите на сегмента на елипса AB, краищата на които се намират на елипсата се нарича основната ос на елипсата. главната ос на дължина, равна на 2 в горното уравнение.
• Сегмент CD, перпендикулярна на главната ос, минаваща през точката на главната ос център, краищата на които се намират на елипсата, наречени малката ос на елипсата.
• Точката на пресичане на Основните и второстепенни оси на елипсата се нарича център.
• Сегменти, проведени от елипса центъра към върховете на основните и второстепенни оси се наричат ​​съответно на главната ос и малката ос на елипсата, и са обозначени с и Ь.
• Разстоянията R 1> R 2 и> от всяка от фокусите на дадена точка на елипсата се наричат ​​фокална радиуси в този момент.
• Разстоянието с = | F 1 F 2 | 2 F_ | >>> нарича фокусно разстояние.
• Количеството е = С а = 1 # X2212; б 2 2> = >>>>>> наречен ексцентрицитета.
• Диаметър на елипсата се нарича произволна акорд, която преминава през центъра му. Конюгираните диаметър на елипсата се нарича няколко диаметри му, с имот, че средната акорд, успоредно на първия диаметър, лежат на втори диаметър. В този случай, акорди и средната успоредно на втория диаметър, разположени на първи диаметър.
• радиус на елипсата в даден момент е сегмент, който свързва точката на елипсата център, и дължина, която се изчислява съгласно формула R = а б б 2 защото 2 # X2061; # X03C6; + A 2 грях 2 # X2061; # X03C6; 1 = б # X2212; д 2 защото 2 # X2061; # X03C6; \ Cos ^ \ varphi + а ^ \ грях ^ \ varphi >>> = \ защото ^ \ varphi >>>>. където # X03C6; - ъгълът между радиуса и главната ос.
• Координационно параметър р = б 2 а >>> наречен половината дължина акорд. минаваща през фокуса и перпендикулярна на главната ос.
• Съотношението на дължини на малки и големи полуремаркета оси на елипсата се нарича съотношение на компресия или елиптичност. к = б а.>.> размер равен на (1 # X2212; к) = а # X2212; б а.>,> го нарича елипса компресия. За коефициент периферна компресия равна на единство, компресия - нула. Степента на сгъстяване и ексцентрицитета на елипсата са свързани с к 2 = 1 # X2212; д 2. = 1-е ^.>
• За всеки един от фокусите, че има линия, наречена направляващата. такова, че съотношението на разстоянието от произволна точка на елипсата на фокуса на разстоянието от тази точка до дадена линия е равен на ексцентричност на елипсата. Всички елипса се намира на една и съща страна на линията, като фокус. Уравнения directrices елипса в канонична форма са написани като х = # X00B1; р е (1 + Е) >> за огнища ( # X2213; р 1 + Е. 0)> \ 0 \ дясно)>, съответно. Разстоянието между фокуса и директриса равна на р д.>.>

Отношенията между елементите на елипсата [| ]

елипса част (описан. в "Свързани Определения")

Ellipse като кривата на втория ред [| ]

Центърът на елипса е nondegenerate крива от втори ред и отговаря на общото уравнение на формата

на 11 х 2 + 22 г 2 + 12 х 2 г 2 + 13 х 2 + 23 + 33 у = 0. х ^ + a_y ^ + 2a_xy + 2a_x + 2a_y + a_ = 0,>

Отношенията между кривата Invariants на втори ред и semiaxes елипсата (само вярно при условие, че центърът на елипсата съвпада с произход, и а = 33 # X2212; 1 = "1):

Ако се пренапише общото уравнение във формата

A X 2 + B + C X Y Y 2 + D + E X Y + F = 0. + BXY + CY ^ + DX + EY + F = 0,>

координатите на центъра на елипсата:

въртене ъгъл се определя от експресията

Посока вектори на осите:

Дължината на полуремаркета оси са дадени от

Обратните съотношение - общото уравнение коефициенти на елипсовидни параметри - могат да бъдат получени чрез заместване на каноничната уравнение (виж по-долу). Експресия за завъртане на координатната система под ъгъл Θ и трансфер до точка (х в у в.), Y _)>:

х # X2032; 2 2 + Y # X2032; 2 б 2 = 1 + >>> >>> 1 => х # X2032; = (X # X2212; X в) в о и # X0398; + (Y # X2212; Y в) е и п # X0398; ) Cos \ Theta + (у-y_) грях \ Theta> Y # X2032; = # X2212; (х # X2212; X в) е и п # X0398; + (Y # X2212; Y в) в о и # X0398; ) Sin \ Theta + (у-y_) COS \ Theta>

Заместник и отваряща скоба, следните изрази за коефициентите на общото уравнение:

А = 2 (S и п # X0398; ) 2 + б 2 (в о и # X0398; ) 2 (син \ Theta) ^ + б ^ (COS \ Theta) ^> B = 2 (б 2 # X2212; 2) е и п # X0398; С о и # X0398; -а ^) грях \ Theta защото \ Theta> С = 2 (в о и # X0398; ) 2 + 2 б (а и п # X0398; ) 2 (COS \ Theta) ^ + б ^ (син \ Theta) ^> D = # X2212; 2 х с # X2212; В у в -By_> Е = # X2212; В х в # X2212; 2 C у в -2Cy_> F = А х в 2 + C у в 2 + B х в у в # X2212; 2 б 2 ^ + Су _ ^ + Bx_y_-а ^ б ^>

Ако въведете само под ъгъл, и център на елипсата да напусне в основата, а след това

Трябва да се отбележи, че в уравнението на общата форма на елипса, дефинирани в Декартова координатна система, коефициентите ABCDE F (или, еквивалентно, а 11. 2 на 12. 22. 2 а 13. 2 33 на 23., 2a_, a_, 2a_, 2a_, a_>) са дефинирани до произволен постоянен фактор, т.е. Горният запис и

К X 2 + B к X Y + C к Y 2 + D к X + E + F к Y к = 0 + + BkXY CKY ^ + DkX + EkY + Fk = 0>

където к # X2260; 0. Те са еквивалентни. Не можеш да очакваш, че изразът

Тя ще бъде изпълнена по всяко к.

Съотношението между semiaxes инварианти и Аз в общата форма, както следва:

където F # X2032; F = # X22C5; (А # X22C5; ч 2 + B # X22C5; з # X22C5; к + C # X22C5; к 2 # X2212; 1) + B \ cdot ч \ cdot к + C \ cdot к ^ -1)> - съотношение F в произхода на трансфер до центъра на елипсата, уравнението се редуцира до

Други инварианти са в следните пропорции:

Canonical уравнение [| ]

За всяка елипса може да намери декартова координатна система, така че елипсата е описана с уравнението:

Това уравнение се нарича канонично уравнение на елипса. Той описва елипса центриран в основата, осите на които съвпадат с координатните оси. [1]

За определеност, предполагаме, че 0

Познаването на елипса половин ос можем да изчислим му фокусно разстояние и ексцентричност: