Оптималните линейни филтри са широко използвани за откриване и дискриминация на детерминирани сигнали, където характеристиките на критерий оптималност на тези филтри е да се получи на изхода на филтъра максималния възможен съотношението на пиковата стойност на сигнала за ефективната стойност на шума. Целта на лечението по този начин не е възпроизвеждане на форма на вълната, която се предполага, известен и в най-надеждно закрепване само наличието или отсъствието на получен сигнал люлка.
Намираме израз за комплекс честотната характеристика на оптимално филтъра [5]. Да предположим, че линейната вход филтър с комплекс честота отговор К (к ц) влияе на размера на напълно известни сигнал и (т) и шума п (Т), който е широк смисъл стационарен процес стохастичен с известна спектрална плътност Sn (w) [4]:
Ние означават сигнала и шума на изхода на филтъра чрез SB (т) и NB (т). Известно е, че ако на входа на линейна система с комплекс честота отговор К (к т) влияе на сигнала и (т), като комплекс амплитуда спектър
комплекс спектър на сигнала на изхода на системата определя от продукт F на (й w) К (к т), а самата изходния сигнал - изразът
Спектралната плътност на шума на изхода на филтъра се дава с Sn () | К (к) | 2 и вариацията
Въз основа на формули (1.1) и (1.2) се получава израз за съотношението сигнал / шум на изходната мощност на филтъра при t0 време:
Необходимо е да се намери функция К (к), в която изразът (1.3) в някакъв момент t0 достига максимум. Едно от решенията на този проблем е използването на неравенството на Шварц-Шварц. Известно е, че е (х) и г (х) за две произволни сложни функции до отношенията
където равенство притежава само когато г (х) = c0f (х), където c0- константа; е * (х) - функция, комплекс конюгат е (х).
Ние пишете израза (1.4), като отидете на променливата. под формата на
От това следва, че максималната възможна стойност на съотношението сигнал / шум
Според уравнение (1.5), тази стойност се постига само когато състоянието
където С - постоянна; t0 - точка от времето, при което максималната стойност на съотношението сигнал / шум на изхода на филтъра. Така, комплекс честотната характеристика на оптимално линеен филтър се дава с (1.8) и най-високата съотношението сигнал към шум - уравнение (1.7). Различни спектри сигнал F (й) и смущения Sn () във формула (1.7) може при определени допълнителни условия (например, постоянна енергия или силата на сигнала и т.н.), наложени на системата да се намери най-добрата форма на спектъра на сигнал (който максимизира Q ) и най-лошия шум спектралната плътност (където се минимизира Q).
В някои устройства, като служи за определяне на момента на възникване импулсни прилаганите филтри, които трябва да предоставят най-добрата възможна връзката получаване наклон сигнал на ефективната стойност на шума. Такива филтри могат да бъдат наречени оптимално стръмността сигнал. За определяне на честотната характеристика на такъв филтър вместо на сигнала и (т), че е необходимо да се разгледа производно време. В този комплекс честотен филтър характеристика, оптимално сигнал наклон определя с израза
където F1 * (к т) - комплекс конюгат стойност на производно спектър на входния сигнал; С1 - постоянен. Максималният възможен съотношение наклон сигнал за ефективната стойност на шума би
С помощта на известни връзката за трансформацията на Фурие на производно на сигнала:
Досега намеса N (т) не налага никакви ограничения, с изключение на стационарни в широкия смисъл на думата. Нека сега разгледаме намесата като Gaussian бял шум. Линеен филтър, на изхода на който се получава възможно най-пиковата стойност на съотношението сигнал / шум на рецепция напълно известни сигнал в Gaussian бял шум, наречена съгласуван филтър. Нека да намери израз за честотната характеристика на съгласувания филтър. За да направите това, ние поставяме Тогава изразите (1.7) и (1.8) се вземат съответните форми:
където К - константа характеризиране на коефициента на предаване филтър; Es - енергията на сигнала:
Ние напиши входния спектър и сложна честотен филтър характеристика под формата на
Има JS (w) - фаза спектър на сигнала, J (w) - фаза честота характеристика на филтъра.
Тогава изразът за амплитуда и фаза отговор от съчетаната изпълнението филтър ще изглежда така
Вижда се, че амплитудата на честота характеристика (AFC) на съгласувания филтър е пропорционална на амплитудата на спектъра на входния сигнал (AFC "съвпадение" филтър с спектър на сигнала), и фаза честота характеристика (PFC), равен на сумата на фаза-честотния спектър на сигнала приема с обратен знак на, и спектър фаза забавяне ( - wt0).
Съвпадение честотна характеристика на филтъра за образуване на амплитудата на сигнала спектър осигурява най-добрата селекция на най-интензивните части на спектъра на сигнала. Филтърът намалява спектралните региони с относително ниски нива на спектрални компоненти; в противен случай ще бъде силен шум отиде заедно с тях. Формата на филтър изходния сигнал е изкривен. Все пак, това не е от съществено значение, тъй като проблемът на филтър в този случай не е точно възпроизвеждане на входния сигнал, и в образуването на големия пик на изходния сигнал на шума. Значителна роля в това отношение играе фаза отговор филтър й (w).
Заместването в уравнение (1.1), експресия (1.9), ние се получи експресия на желания сигнал на изхода на съгласувания филтър:
Вижда се, че само спектър амплитуда сигнал определя на изхода на филтъра входния сигнал и не зависи от фазата на спектъра. Това се дължи на факта, че взаимното фаза смяна на спектралните компоненти на Js на входния сигнал (w) се компенсират филтър фаза отговор. Следователно, всички хармонични компоненти едновременно постигнат пикови стойности в момент t0 =, и допринасят за получаване на пикова мощност на сигнала:
Ако фаза отговор на филтъра не се компенсира за отмествания фаза на спектрални компоненти на входния сигнал, максимуми на хармонични компоненти не съвпадат във времето, което би довело до намаляване на производството или фрагментация връх.
Трябва да се отбележи, че съгласуваният филтър (1.9) може да се използва при получаване на напълно известни сигнал в стационарна смущения с произволна спектрална плътност Sn (w). За тази достатъчно формално да пропусне полученото колебание х (т) чрез допълнително линеен филтър, който превръща N (т) в намесата на бял шум. Фаза отговор на филтъра може да бъде всеки, и честотната характеристика на тази екстра "Избелване" филтър трябва да бъде във вида
На изхода на избелващ филтър смущения превръща в бял шум с постоянна спектрална плътност на комплекс спектър на сигнала за
След това можете да използвате формулите, получени по-рано. В съответствие с експресия (1.9) интегрирано честота характеристика, съответстваща на съгласуван филтър
Оптималната филтъра е последователно свързване на два филтъра: Избелване и последователно. Неговата цялостна честота характеристика естествено съвпада с отношението (1.8).
Използване на допустимото свободата на избор на характеристиките на фаза избелване на филтър на, можете да опитате да го изберете, така че оптималното филтърът е физически реализуема. Ако шума спектралната плътност Sn (т) може да бъде приблизително от рационална функция на честотата (на практика без загуба на общоприложимост), за да се получи физически реализуема оптимално линеен филтър се използва разлагане Sn (w) от сложни конюгат фактори. Помислете за пример.
Нека смущения Гаусов шум като спектрална плътност Sn (w) = 2Ad / (2 + w 2), където D - промяна в шума. След това, в съответствие с уравнение (1.10), ние имаме
По този начин, ние получаваме две подобни опции избелване на филтъра:
Ние считаме, импулсната характеристика на съгласувания филтър:
Поради експресията на входния сигнал
Следователно, съгласуван филтър вълната на импулсната реакция се определя изцяло ( "съвпадение" на сигнала). Фиг. 1.1 е показан импулсен сигнал и (т) и продължителност. появява при време Т = 0.
Очевидно е, че функцията S (t0 + т) се появява в момент t0 преди сигнала и (т). Функцията S (t0-т) е огледален образ на функцията S (t0 + т) по отношение на ординатата. Увеличаването функция и (t0-т) на коефициент к. Ние се получи импулс отговор на съгласувания филтър.