Какво е тензор? Защо тензори са основният инструмент математическа физика?
Думата "тензор" все още остава много много физици, и само за не-физици на повече от малко очевидни, математическа абстракция. И това въпреки факта, че те се използват в тензори физика за повече от един век. Какво е тензор? Отговорът на този въпрос е изключително проста - колекция от поредици от цифри, които са свързани с някои физически обект. изолиран от останалата част от реалния свят. всяка процедура измервания (т.е., чрез сравняване на общото време на обекта, или някои от неговите специфични свойства, избраната скала) самостоятелно и всички такива валидни процедури за измерване наведнъж. Тензори се различават по броя на номера в тези масиви и правила, които се отнасят техните стойности в различни координатни системи.
Правилата са прости, класификацията на тензори, също, но простотата на това трябва да се изясни в пояснителните примери.
Вземете за начало двумерен цени пространство. използвате като пример при обсъждането на идеята за относителността. Нека си поставя като допустимите двете валути (двете координатни системи), рублата и долара, и физическия обект да се търкаля.
На първо място, най-простият тензор, който се появява в това пространство - това е скаларна 1. възлага такова имущество на физически обекти, тъй като броят на: 1 питка. Изборът на (долар рублата дали) този имот не зависи от устройството на цените е инвариант и безразмерна номер. Също така се нарича скаларна тензор от ранг нула ома. Скаларното може да произволно числена стойност - 2, 3, 1,5 (ролки). Имайте предвид, че въпреки че скаларната безразмерна, но някои рудиментарен следа от размера те са - хляб се различава от колбаси, например, въпреки че от гледна точка на цена, те са напълно съвместими. Можете да говорите за общата цена на хляб и колбаси заедно. Т.е. разликата между скаларни до известна степен извадени извън математиката. Скаларни се определя в пространството преди въвеждането на всяка процедура за измерване, то възниква веднага след като се идентифицират отделните части на нашия свят. Но след позициониращи системи не изчезне. Това е най-простият от поредици от цифри. Компонент в набор от "скалар" е винаги една и съща. Неговата стойност еднакви във всички координатни системи. Този факт, очевидно, не зависи от броя на измерения на пространството, тъй като Самият от скаларна измервателни процедури, определяне на размера е независима.
Следваща тензор, която можем да видим с един поглед е вектор или тензор на първия чин. Това не е нищо повече от цената на физически обект (ролка в този случай). Тъй като нашата пространство е едномерна собственост на обекта в това пространство е описан само с един, а вектор компонент е само един също. Но! Ако една скаларна компонент винаги ще бъде място за произволен брой размери, броя на компонентите на вектора, равен на броя на размери стриктно. Той е заложен в одобрението на "тензор на първия чин." При измерване на всяка скала възлага на избрания обект с едно измерение компонент - число, показващо колко везни, което трябва да се възпроизвеждат на обекта. Размерите на различните компоненти като цяло различен и същото като името на съответните звена. В този конкретен случай, тя ще, например, 25 рубли. Цената на хляб в рубли, х р = 25 (RUB). И в долари (в различна координатна система), той ще бъде $ 1, х = 1 г (USD). Имайте предвид, че коефициентите на преход между координатни системи (две валути). От рубли в щатски долара съотношение на рана на пазара (например г / д р = 1/25 долара / RUB) и обратно (е р / е г = 25 рубли / долар). Факторите за преобразуване и координират измерение, освен това са с размерите на двете координатни системи. векторни стойности се преобразуват от една координатна система към друга с помощта на формула х г = F г / г р • х п. Естествено е формула. За да получите стойността на компонентите на вектора в нова координатна система по отношение на "долар" на единица трябва да се умножи стойността на вектора в старата координатна система спрямо единица "рубла" в отношението на новите звена към старата. Имайте предвид, размерите в същото време да се трансформира! Общото правило - компонентите на такъв вектор се превръщат по време на прехода между координатни системи с използване на матрица трансформация се координира (единици са избрани), производни на матричните нови координати като старите функции. В този пример, матрицата е сведена до един номер, но е ясно, че в случай на множество единици (пространството на няколко измервания), това ще бъде една маса от числа (размер!).
Оказва се, че в нашата едно тримерно пространство, има и други тензори на първия чин, много подобни на вектора на цените. Те също имат същия брой компоненти като мерните единици в дадено пространство. Ето защо, те се наричат също вектори. Но те изразяват много различни свойства на обекта! За да се направи разлика между тези два вида вектори, те се наричат contravariant вектори (като вектор цена) и covariant вектори. Тези имена означават "protivopreobrazuyuschiesya" и "sopreobrazuyuschiesya". Лесно е да се разбере, че това се дължи на тяхната трансформация формули компонент по време на прехода между координатните системи. Сега ние се въведе covariant вектор за хляб, и ще видите разликата. Колко ролки могат да бъдат закупени за единица (в този случай, цена - една рубла или един долар)? Въпросът е твърде значимо, ние често се питаме за тях. Именно това свойство на обект "спада на определена сума за единица мярка" и изразява covariant вектор. За тази хляб е XP = 1/25 (1 / RUB). Т.е. 1 рубла може да се купи 1/25 на рулата. Забележка, валути Index стои на дъното и размера на компонентите на covariant вектор е обратното на размера на съответните звена. В друг координатна система XD = д р / г е • XP. Компонентите на covariant вектор, умножена по съотношението на стария към новия. Общото правило отличава covariant вектор от contravariant - неговите компоненти се трансформират с помощта на обратна матрица координатна трансформация матрични производни старите координати нова.
И защо имаме нужда от всички тези вектори? В живота, ние добавите до цената, умножение, се разделят ... Точно така, трябва да въведа (опишете) операции с тензори. Ето един пример за умножение, което е още едно специално име, навиване. х р • XP = 1. Какво се случи в резултат на тази операция, цените на продуктите на хляб единичната цена на една и съща хляба? Точно така, скаларна, броят на рула, а именно това е ролката. И тук е съотношението на - Z р = х + у р р. Какво пише? Стоки х има определена цена в рубли, друг елемент у. Общата цена на нов продукт Z. състояща се от два елемента заедно, обозначен с Z стр. А какво ще кажеш за един Z р = х р + г д сума? Или Z р = х + р YP. Или като ZP = х + у р р. Глупостта не може да се сгъва така - рубли с долара, или цената на определена цена. И не можете да добавите два цена, за да получите конкретна цена. цени Присъединителнитте винаги дава цена. Тук имате основните операции по правило с тензори. което може би знаете, каквото е задължението на ковариация на законите на физиката. Събиране, изваждане и равенство може да се свърже само тензори на една и съща структура в една и съща координатна система. И това правило е напълно естествено, това е просто здрав разум е строго формулира изисквания, описани по-горе.
цена пространство, което аз избрах за моите примери, твърде лесно, тъй като едномерна и заради това да сложите в нея на по-сложни тензор (втората, и така нататък редици) управлява не просто (формално е възможно, но не прави много смисъл). Но това е много очевидна, разбира се, там са привични операции за почти всички. Бих искал още веднъж да подчертая нещо много важно, което се опита да стане ясно и за вас, разбира се. Тензор, без значение колко е трудно да не е на първо, второ и трето мнение, винаги има нищо повече от колкото числов израз на някои от измерените характеристики на специфичен, посветен физически обект. Освен това, на това ниво (за даден ранг тензор) номера, колкото свойства на обекта в процес на разглеждане. Собствеността може да се счита за толкова, колкото и различни независими единици, които имате. И още по-добре да изрази тази мисъл, а напротив - за пълно описание на обекта, което трябва да се вземе възможно най-много независими единици като самостоятелни имоти е предмет. В нашия конкретен случай, ние се интересуваме от имот, цената. Това устройство има един.
Вземем примера на по-сложен, но въпреки това все още близо до нашето непосредствено преживяване. И, разбира се, в близост до темата на този сайт. Такъв например, ние можем да осигурим 3-мерно пространство. В училище, първата концепция на тензора (но без да се споменава, че ние говорим за тензор), ние получаваме един пример на вектора на скоростта. Вектор скорост на точка (в училище курс по физика и твърд) на тялото има три компонента, броят на размери на пространството. Обикновено той е изобразен стрела, прикрепен към тялото и радиус векторни илюстрации на. Трябва да се обясни, че идеята на вектора на радиус не е точен еквивалент на векторите на концепция, тъй като вектор радиус е свързан с повече от една точка, и винаги с две. Въпреки това, векторът концепция в даден момент се получава чрез ограничаване на прехода от концепцията на вектора на радиус в точка на втората стремежа избран. А освен това, в евклидово пространство двете понятия често се използват взаимозаменяемо, поне в графичния образ. Може да се потвърди, че законът успоредник на допълнение вектор дава точно същия резултат като изрично (като компонент) записва сумата в стандартния тенсор алгебра. Добавянето на две скорост вектори (вектор е contravariant): о аз = ф I + w аз. I = 1,2,3. За триизмерното пространство вече е много по-лесно да се даде примери за тензори и следните звания. Един такъв важен тензор на второ място за някого, когото познавате за евклидово пространство е метричен тензор ГИК. като всички ортогонални координатни системи диагонал: GIK = 1, когато се = к = 0, когато се ≠ к. Използвайки този изчислената стойност на всяка contravariant вектор тензор, включително, разбира се, и вектора на скоростта: V = 2 Σgikv IV к. където сумиране е над всички стойности на двата индекса, и стойността на V (като V 2) е скаларна. Тази формула пише нищо повече от Питагоровата теорема прилага към вектора на триизмерната скорост.
Разбира се, една и съща тензорът са геометрични обекти, само някои от тях специален случай. Тук искам да ви обясня какво точно е на значимостта на всички тензори на значими групи от измервания на геометрични обекти. Тензори винаги са свързани с конкретен обект. Геометрична закон обекти реализация, различна от променливите на тензорни, свързани с обектите в рамките на единна процедура за измерване (координатна система), което казват за един обект, а друг - на друга. Тензори и операции с тях, отстъпват, че няма мозък, и винаги правилно да се справят на резултатите от измерване на свойствата на избраните обекти. Разбира се, ако ние правилно разбирам смисъла на всеки контакт, използван тензор. Но това не е въпрос на математика и тълкуването, прилагането на математиката в реалния свят.
Е, изглежда, че основната идея на тензора и защо използването им е удобно, и най-важното е, че е от съществено значение и неизбежна, аз ясно.
Свързани статии