Решен ?? IX. Една подгрупа на пръстена се нарича subring и определен, ако пръстен по отношение на събиране и умножение операции се определя ?? ennyh пръстен.
Във всеки пръстен, очевидно, има следните subrings:
· Нула пръстен, където.
За да се установи дали даден набор subring пръстен този пръстен, може да се използва следната теорема.
Теорема. За който не е празен подмножество на пръстена е subring му, от съществено значение е и достатъчно, че следните две условия:
(- подгрупа добавка група);
(- subsemigroup мултипликативна полугрупа пръстен).
Доказателство. Ние ще се окаже изключително важни НХО условия.
Да предположим, че - subring.
Да - произволно подмножество от елементи.
След това всички елементи
пръстен се съдържа в:
ако поне един от тях се съдържа най-малко, че не е подмножество на пръстен по отношение на операциите, определени в ennyh ??, и следователно няма да бъдат subring.
Нека докажем достатъчността. Да предположим, че подмножество отговаря на условията на теоремата.
След това, в подгрупата определено ?? Eno концепция суми и продукти, ᴛ.ᴇ. Установено е официално на всички ?? Енес операции събиране и умножение.
Тези операции на подмножество на асоциативен, комутативен и разпределение закон са свързани:
Нулевата елемент 0 се съдържа в и обратен (обратна) елемент.
Всъщност, дори - произволно подмножество от елементи.
Тогава ᴛ.ᴇ. и, ᴛ.ᴇ. ,
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, е подгрупа на пръстена по отношение на събиране и умножение операции се определя ?? ennyh и следователно е subring.
Примери. 1. Ring нечетни числа е subring числа -.
2. Пръстен от числа е subring на рационални числа -.
3. пръстен на рационални числа и пръстен, където, както по-рано, - множество видове номера са реални числа subrings -.
За всякакви произволни пръстен семейни subrings следните твърдение.
Теорема. Пресечната точка на всяко семейство от subrings е subring:
Доказателство. Нулевата елемент 0 на пръстена се съдържа във всяка под-пръстени, и следователно съдържа в тяхното пресичане.
Ако - пръстенна единица, всяка subring ще съдържа също един от пръстена и, следователно, тяхното пресичане ще съдържа един пръстен.
Да - произволни елементи, които принадлежат. Елементи и, очевидно, се съдържат във всеки от под-пръстени.
Чрез определяне ?? eniyu пръстенни елементи и също се съдържат във всяка под-пръстени, следователно - отговаря аксиоми пръстен е subring.
Да приемем, както и преди, на произволен набор, съдържащ се във всеки един от subrings:
тогава можем да се определи минималната subring съдържа предварително зададената:
Ако - subring тогава.
Свързани статии