Собствени стойности и елементи долепени оператор

Ненулев елемент х GV се нарича правилното елемент на линеен оператор А: от VV, ако съществува номер L - собствени стойности на линеен оператор, който Пример 1. Всеки полином от степен нула е подходящ елемент на диференциация оператори съответните собствена стойност е нула: Пример 2. Операторът на диференциация собствена ценности и собствените си елементи. Долепени оператор. не eigenelements. Нека някои тригонометрични полином защото T + 0 грях тона след диференциация става пропорционално на: Това означава, че или това, което е същото, последното равенство държи единствено и само ако от където следва, че а = р = 0, следователно, полином може да бъде само нула. Теорема 6. реално число А е собствена стойност на линеен оператор, ако и само ако това число - на основата на неговата характеристика полином: х (А) = 0. neohodimo. Нека А - собствена стойност на А. След това има ненулева елемент х, за които Ах = Ах. Нека - основа на пространството. След последното уравнение може да бъде пренаписана в еквивалент под формата на матрица, или това, което е едно и също, и това е това, което е - собствената си елемент, от това следва, че колона му координира х (в) не е нула. Това означава, че линейната система (1) има ненулева разтвор. Това е възможно само при условие, че, или това, което е същото, това е достатъчно. Методът на изграждане на собствената си елемент. Нека А - корените на полином разгледаме хомогенна линейна система с матрица А (в) - AI: По силата на състоянието (2), тази система има nontrivial разтвор. Построява елемент X от правило Х координата колона (и) на елемента отговаря на състоянието или Това също последният е еквивалентна или повече, следователно, х - собствен elementlineynogo на А и А - съответните собствена стойност. Забележка. За елементите на всички собствените стойности, съответстващи на предварително зададена собствена стойност е необходимо да се изгради FSS система (3). Пример 1. Виж собствените вектори на линеен оператор действа съгласно правилото (проекция оператор) (Фигура 6). М разгледаме действието на линеен оператор P въз основа вектори. Имаме запис оператор матрица: Собствени стойности и собствени елементи. Долепени оператор. Ние изгради характеристика полином и да намерят своите корени. Трябва да се изгради хомогенни линейни системи с матрици: получаване, съответно: Намираме основна система на решения за всеки от тези системи. 1 има по този начин собствени вектори на този дизайн оператор са: вектор с собствена стойност 0 и всяка със собствена стойност Пример 2. Намери eigenelements линеен диференциална оператор V, AFJ действа в пространството на полиноми на степен не повече от две: матрица D даден оператор изходното I, т, има формата a3 характеристика полином има точно един корен а = 0. Разтворът на системата е набор от 1,0,0, което съответства на полином от степен нула. §5. Долепени оператори в евклидово пространство на линейни оператори mozhnovvestiesheodnodey-Следствие - работа сдвояване. Нека V - наш тримерно евклидово пространство. Всеки линеен оператор действа в това пространство; естествено свързан с друг линеен конюгат оператор настоящото. Определение. Линеен оператор (следва: "и със звезда") се нарича конюгат линеен оператор А: V - * V, ако за всички елементи, х и у в пространство V, операторът на линеен равенство A * долепени до даден оператор, винаги съществува. Нека с = (et ен.) - ортонормирана основа на V и А = (С) = (а ^) - .. Матрицата на линеен оператор А в тази основа, т.е. директни изчисления може да се види в това, че линеен оператор " : V - »V, определен от принципите на уравнение (1) и vypolnenoprilyubyhh. Припомнете chtosoglasnoteoreme 1, за да се конструира линеен оператор, е достатъчно да се определи неговото действие на базисни елементи. Пример. Представяме вектор пространство M \ полиноми с реални коефициенти на степен по-висока от първата операция на скаларната размножаването според следното правило. Нека маркиране на M \ - двуизмерен евклидово пространство. V. предположим M \ - M \ - диференциална оператор: V (а + г »е) = б. Ние се изгради оператор долепени. V Матрицата в тази основа изглежда. След това - матрицата на оператор V на долепени, действайки в съответствие с правилото: За всеки полином получите имоти спрежение 1. Ukazhdogolineynogooperatorasuschestvuetrovnoodinsopryazhennyyemuoperator. Нека В и С - операторите долепени даден uoperatoru А. Това означава, че за всички елементи, х и у на V равенства пространство това следва, че собствените стойности и собствени елементи. Долепени оператор. и по-нататък, тъй като изборът на х, ние заключаваме, че елементът Wu Су-ортогонална на всеки елемент от пространство V и по-специално, да се. Това е възможно само тогава, когато по - Су = 0 и следователно, С = С ш. Поради факта, че - всеки елемент, ние получаваме в

С 2. (А.4) = AA *, където - произволно реално число. Нека A: V - + V и B: V - + V - линейни оператори. Тогава имоти 2-5 следват лесно от уникалността на оператора на долепени. 6. Нека в - ортонормирана база на V. Към оператори A: V V и B: V - »V бяха vzaimnosopryazhennymi, т.е. В равенства = А "A = B * на, е необходимо и достатъчно условие е матрица А = А (S) = В и (и), получен от един от друг от транспониране. Забележка. Ще подчертая, че имотът е валидна само за 6 Matra построен в база ortonormnro-затопли. За произволна база е невярно. 7. Ако линеен оператор не е изродено, то долепени оператор * също не са изродени и равенството