Рейтинг: 5/5

Литература: Събиране на проблеми в областта на математиката. Част 1. Под редакцията на Ефимов, BP Demidovich.

Квадратна матрица $ A $ се нарича симетрична ако $ А ^ T = А. $ квадратна матрица $ B $ наречен antisymmetric ако $ B ^ T = -В. $

Квадратна матрица $ A $ нарича изроден (специален). ако нейната детерминанта е нула, и не-дегенеративен (неособена матрица) друго. Ако $ A $ - не-единствено матрица, тогава съществува уникална матрица $ А ^ $, така че $ АА ^ = А ^ А = Е, $ където $ Е- $ идентичност матрица (т.е., такива, че основният блок диагонал и всички други елементи са нула). Матричният $ А ^ $ се нарича обратна на матрица А. $ $

Основни методи за изчисляване на обратна матрица:

Метод prisoedenennoy матрица. Prisoedenennaya матрица $ А ^ * $ се определя като транспозиция на матрица, съставена от съответните елементи кофактори матрица $ A. $ Така,

$ А ^ * А = АА ^ * = \ DET A \ cdot Е. $

От това следва, че ако $ нас A- $ неособена матрица матрица, а след това

Prisoedenennoy метод матрица да се намери обратна на следната матрица:

$ \ Det А = \ begin12 \\ 34 \ край = 1 \ cdot 4-2 \ cdot 3 = 4-6 = -2 \ НЕК 0. $

Тъй като детерминанта не е нула, тогава тази матрица е неособена матрица и обратен матрица съществува.

Ние считаме, кофактори на съответните елементи на матрица $ A: $

Следователно ние откриваме prisoedenennuyu матрица:

$ \ Det А = \ begin257 \\ 634 \\ 5-2-3 \ край = 2 \ cdot 3 \ cdot (-3) 6 \ cdot (-2) \ cdot 7 + 5 \ cdot 4 \ cdot 5- 5 $ $ = \ cdot3 \ cdot7-2 \ cdot (-2) \ cdot4-5 \ cdot 6 \ cdot (-3) = - 18-84 + 100-105 + 16 + $ 90 = $ = - 1 \ НЕК $ 0

Тъй като детерминанта не е нула, тогава тази матрица е неособена матрица и обратен матрица съществува.

Ние считаме, кофактори на съответните елементи на матрица $ A: $

Елементен метод трансформация. Елементен матрица наречен следното:

1) пермутация на редове (колони);

2) размножаване на ред (колона) в редица различни от нула;

3) добавяне към елементите на ред (колона) към съответните елементи на друг ред (колона), предварително умножени по брой.

За дадена матрица $ A $ $ п- $ та за изграждане на правоъгълна матрица $ \ Gamma_A = (A | Е) $ размер $ п \ пъти 2n $, се приписват на полето $ A $ матрица идентичност. Освен това, с помощта на елементарни преобразувания над редове даде матрица $ \ Gamma_A $ до $ форма (Е | B), $ това винаги е възможно, ако $ A $ не е дегенерат. Тогава $ B = A ^. ​​$

3.115. Методът на елементарни трансформации да намерите обратна на следната матрица:

Ние се образува матрица $ \ Gamma_A: $

Обозначаващ $ \ gamma_1 \ gamma_2 \ gamma_3 $ редове от $ \ Gamma_A, $ изпълняват върху тях получават следните трансформации: $ \ gamma_1 "= \ gamma_1, $ $ \ gamma_2" = \ gamma_2-2 \ gamma_1, $ $ \ gamma_3 "= \ gamma_3-2 \ gamma_1 $

$ \ Gamma_1 '$' = \ gamma_1 ", $ $ \ gamma_2 '' = \ gamma_2'-2 ​​\ gamma_3", $ $ \ gamma_3 '' = \ gamma_3'-2 \ gamma_2 "

$ \ Gamma_1 '' '= \ gamma_1' '- \ Фрак \ gamma_2' '- \ Фрак \ gamma_3' ', $ $ \ gamma_2' '' = \ Фрак \ gamma_2 '', $ $ \ gamma_3 '' '= \ Фрак \ gamma_3 '' $

Получаваме $ \ ляв (\ започне 122 \\ \\ 21-2 2-21 \ край \ лява |. \ Begin100 \\ \\ 010 001 \ край \ прав \ вдясно) \ СИМ $ $ \ ляво (\ започне 122 \ \ 0-3-6 \\ 0-6-3 \ край \ лява | \ begin100 \\ - \\ 210-201 \ край \ прав \ вдясно) \ СИМ $.

Otrogonalnoy матрица е матрица, за които $ А ^ = А ^ Т. $

3.105. Докаже, че всяка матрица А $ $ могат да бъдат представени, и по този начин единственият начин да се образува $ А = В + С, $ където $ В- $ симетричен и antisymmetric $ С- $ матрица.

Prisoedenennoy метод матрица да се намери обратна на следната матрица: